Optimización del área de una cruz inscrita en un círculo

Question

Realmente he estado rompiéndome la cabeza con este problema de optimización. "Considera una cruz simétrica inscrita en un círculo de radio $r$." La longitud desde el centro de la cruz hasta el medio de uno de sus brazos es $x$. Además, el ángulo entre dos segmentos de recta trazados desde el centro de la cruz hasta los vértices de uno de sus brazos tiene una medida de $\theta$. Aquí está un diagrama:

Hay tres partes en el problema: "(a) Escribe el área $A$ de la cruz como una función de $x$ y encuentra el valor de $x$ que maximiza el área. (b) Escribe el área $A$ de la cruz como una función de $\theta$ y encuentra el valor de $\theta$ que maximiza el área. (c) Muestra que los números críticos de las partes (a) y (b) dan como resultado la misma área máxima. ¿Cuál es esa área?"

Por lo tanto, déjame mostrarte lo que he hecho hasta ahora. Para la parte (a), decidí dividir la cruz en dos rectángulos centrales y dos rectángulos laterales. Vi que un rectángulo central (desde el centro hasta la parte superior) tendría un área de

$$x \cdot 2 \sqrt{r^2 - x^2}$$

usando el teorema de Pitágoras. Calculé que un rectángulo lateral (el área restante a la derecha, adyacente a los rectángulos centrales) tendría un área de

$$2 \sqrt{r^2-x^2} \cdot \left( x - \sqrt{r^2 - x^2} \right) .$$

Entonces, el área de la cruz es

$$A = 2 \bigg( x \cdot 2 \sqrt{r^2 - x^2} + 2 \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \Big( x - \sqrt{r^2 - x^2} \Big) \bigg) = 8x \sqrt{r^2 - x^2} - 4r^2 + 4x^2 .$$

Si mi cálculo es correcto allí (cruzando dedos), entonces tomaré la primera derivada para localizar un máximo.

$$A^\prime = 8 \sqrt{r^2 - x^2} + 8x \left( 1 \over 2 \right) \left( r^2 - x^2 \right)^{- {1 \over 2}} \left( -2x \right) + 8x.$$

Estaba un poco inseguro sobre qué hacer en este punto. Ingresé la ecuación de $A^\prime$ en mi calculadora gráfica, sustituyendo $1^2$ por $r^2$ (para un radio de $1$). El gráfico cruza el eje $x$ en $x \approx 0.85$. Sustituyendo $2^2$ por $r^2$ (para un radio de $2$) me da $x \approx 1.70$. A partir de esto, concluí que

$$A^\prime = 0 \; \mathbf{en} \; x \approx 0.85r.$$

El análisis de gráficos de $A$ para varios valores de $r$ concluye que, de hecho, los máximos aparecen en $x \approx 0.85r$. Entonces, tengo la función $A$ en términos de $x$, pero tengo curiosidad: ¿Cuál debería ser mi respuesta final para la segunda parte de (a)? Todo lo que tengo es $x \approx 0.85r. ¿Es esa una respuesta suficiente?

En cuanto a la parte (b), realmente no tengo idea de cómo escribir $A$ en términos de $\theta$. Sé que $\text{área} = {1 \over 2} b \cdot c \cdot \sin A$ para triángulos, pero realmente necesito ayuda para escribir el área de esta cruz en términos de $\theta$.

La parte (c) debería ser suficientemente fácil una vez que termine (b).

Si llegaste hasta el final de esto, te agradezco sinceramente por leer, y realmente apreciaría una respuesta (y cualquier corrección a mi cálculo). ¡Gracias!

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el radio es $1$: luego podemos escalar el área por $r^2$.

Por la fórmula que citaste, el área del triángulo encerrado por las dos líneas que forman el ángulo $\theta$ es $\frac{1}{2}\sin\theta$. El área cubierta por uno de los dos brazos completos de la cruz es por lo tanto $4$ veces esto, que es $2\sin\theta$.

Duplica esto para obtener la suma $4\sin\theta$ de las áreas cubiertas por los dos brazos completos. Desafortunadamente, esta suma cuenta el área del cuadrado central dos veces. Así que necesitaremos restar el área de ese cuadrado.

Observa que por trigonometría, el segmento horizontal en la parte superior de la cruz tiene longitud $2\sin(\theta/2)$. Por lo tanto, el cuadrado central tiene área $4\sin^2(\theta/2)$. Usando la identidad trigonométrica $\cos 2\phi=1-2\sin^2\phi$, encontramos que el cuadrado central tiene área $2-2\cos \theta$.

Entonces, el área de la cruz es $4\sin\theta +2\cos\theta-2$. Maximizar debería ser sencillo.

Observaciones: $1.$ Realmente no necesitamos cálculo. Mira el problema equivalente de maximizar $4\sin2\theta+2\cos\theta$. Reescribe esto como $$2\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin \theta+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos\theta\right),$$ y deja que $\psi$ sea el ángulo cuyo coseno es $2/\sqrt{5}$ y cuyo seno es $1/\sqrt{5}$. Entonces nuestra expresión se convierte en $2\sqrt{5}\sin(\theta+\psi)$. El valor máximo posible de la función seno es $1$. Así que el área máxima es $2\sqrt{5}-2$.

$2.$ Podemos usar el cálculo anterior para responder tu pregunta sobre $x$. Alternativamente, iguala la derivada a $0$, como lo hiciste. La manipulación dará una expresión explícita para la raíz.

$3.$ En cierto punto estabas maximizando $8x\sqrt{r^2-x^2}-4r^2+4x^2$. Deja que $x=r\sin t$. Queremos maximizar $8r^2\sin t\cos t-4r^2+4r^2\sin^2 t$. Olvídate de la parte $r^2$, es un multiplicador constante. Simplifica ahora a $8\sin t\cos t-4\cos^2 t$, y luego deriva. (Usar identidades de ángulos dobles para simplificar primero es una buena idea.) Podemos pensar en esto simplemente como un dispositivo técnico para asegurarnos de terminar con una ecuación simple.

Answer 2

Estoy tratando de resolver el mismo problema, y llegué a las mismas conclusiones. La cosa es que, si graficas la función obtienes esto :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=8+x+sqrt%281-x%5E2%29-4+%281-x%5E2%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math-

como puedes ver, la gráfica toma valores negativos cuando x disminuye, pero si la función representa el área de la cruz, ¿cómo es posible que el área sea negativa ??

Incluso hice un pequeño programa para probar esto, aquí está: http://www.khanacademy.org/cs/calculus-maxarea-circle-v00x/1512261081

¿Alguien tiene alguna idea de qué está pasando ?