cómo evaluar $ \int_0^\infty e^{- \left ( x - \frac a x \right )^2} dx $

Question

¿Cómo puedo evaluar la siguiente integral definida,$$ \int_0^\infty e^{- \left ( x - \frac a x \right )^2} dx $$

Answer 1

Voy a suponer que $a > 0$. Deje $y = \frac{a}{x}$. Entonces

$$I := \int_{0}^{\infty}e^{-\left(x-\frac{a}{x}\right)^2}\;dx = \int_{0}^{\infty}\frac{a}{y^2} \, e^{-\left(y-\frac{a}{y}\right)^2}\;dy.$$

Así tenemos

$$2I = \int_{0}^{\infty}\left(1 + \frac{a}{x^2}\right) e^{-\left(x-\frac{a}{x}\right)^2}\;dx. $$

Ahora por la sustitución de $t = x - \frac{a}{x}$,

$$2I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \; dt = \sqrt{\pi}.$$

Por lo tanto,$I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

(Usted puede ver que esto se generaliza a cualquier integrable incluso, de la función en $\Bbb{R}$)