Los números mostrados por 2 dados están etiquetados $d$ y $e$ . $A, B$ y $C$ son constantes, dando una puntuación $S=Ad + Be + C$ . Encuentre $A, B$ y $C$ de manera que el rango de valores posibles para $S$ cubre todos los enteros de $0$ a $35$ , con igual probabilidad de cada resultado. [Examen Oxford PAT, 2011]
He tratado de encontrar ecuaciones en términos de $A, B, C$ para diferentes valores de $S$ .
Los valores de $S$ puede representarse como $6a+b$ donde $a$ y $b$ van de 0 a 5; hay una correspondencia de uno a uno entre los pares $(a,b)$ y los números en $S$ . En consecuencia, $6(a-1)+(b-1)=6a+b-7$ produce el mismo emparejamiento, pero para $a$ y $b$ del 1 al 6 - las caras reales de los dados. Por lo tanto, para que cada puntuación aparezca con igual probabilidad deberíamos tener $$A=6,B=1,C=-7$$
El valor máximo de $S$ (suponiendo que $A,B\geqslant0$ ) es $6(A+B)+C$ y el valor mínimo $A+B+C$ . Esto nos da el sistema de ecuaciones \begin {align} 6A+6B+C &= 35 \\ A+B+C &= 0. \end {align} La eliminación gaussiana da como resultado $C=-7$ y por lo tanto $A+B=7$ . Así que $(A,B,C)=(6,1,-7)$ y $(1,6,-7)$ . Tomando $(A,B,C)=(6,1,-7)$ produce $$S = 6d + e -7, $$ de modo que para cualquier $j\in\{0,1,\ldots,35\}$ , $$j= 6d_j+e_j-7 $$ donde \begin {align} d_j &= 1 + \left\lfloor \frac {j}6 \right\rfloor\\ e_j &= j+7 -6d_j. \end {align}
Eso demuestra que (6,1,-7) da los valores mínimos y máximos requeridos. No demuestra que todos los valores dentro del rango sean posibles, ni que todos tengan las mismas probabilidades.
@Jay Hay $36$ posibles resultados de rodar dos $6$ - dados de lado. No es difícil ver que cada uno de ellos corresponde de forma única a un valor de $S\in\{0,1,\ldots,35\}$ .
Estoy seguro de que un enfoque más riguroso es posible, pero pensando en esto intuitivamente:
Si tiramos dos dados, hay 6x6=36 resultados posibles. De 0 a 35 es un rango de 36 resultados posibles. Por lo tanto, la solución debe implicar exactamente una combinación de la tirada de los dados para cada resultado: no podemos tener 2,1 y 1,2 ambos mapeando al mismo valor, por ejemplo.
Así que me imagino una tabla bidimensional con 6 filas y 6 columnas, en la que cada celda de la tabla tiene un número diferente, del 0 al 35. La primera fila sería del 0 al 5, la segunda del 6 al 11, y así sucesivamente. Todos los números del 0 al 35 aparecen. Cada número ocurre exactamente una vez, es decir, cada número representa exactamente una combinación de la tirada de dos dados, por lo que todos tienen la misma probabilidad.
Podría generar el primer número de cada fila restando uno a la tirada del dado y luego multiplicando por 6. O, si lo prefiere, multiplicar por 6 y luego restar 6. Para el desplazamiento de la columna tomo el segundo dado menos 1. Es decir:
S=(d x 6 - 6) + (e - 1)
o
S=d x 6 + e - 7
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