Grupo Burnside $B(2, 3)$ , cómo ver ha $27$ elementos e isomorfo a cierto grupo?

Question

El grupo Burnside $B(d, n)$ se define como el cociente del grupo libre sobre $d$ generadores por el subgrupo normal generado por todos los $n$ poderes.

Pregunta. ¿Cómo puedo ver que $B(2, 3)$ tiene $27$ y es isomorfo al grupo de matrices de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & x & y \\ 0 & 1 & z \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ para $x,y,z\in\mathbb{F}_3$ ?

Answer 1

Que $u^3=1$ para todos $u$ en este grupo de matrices es un cálculo inmediato, y además este grupo de matrices está generado por las matrices $e_{12}(1)$ y $e_{23}(1)$ . Así pues, este grupo de matrices es un cociente de $B(2,3)$ .

Por lo tanto, basta con demostrar que $B(2,3)$ tiene orden $\le 27$ . Sea $x,y$ son sus generadores, y escribimos $X=x^{-1}$ , $Y=y^{-1}$ y $[u,v]=uvu^{-1}v^{-1}$ .

\begin{align*}[[x,y],y]= & xyXYyyxYXY\\ = & xyXyxxyx(XY)^3\\ = & xyXyXyx \\ = & xx(Xy)^3x=xxx=1\end{align*}

Del mismo modo $[[x,y],x]=1$ . Así que $[x,y]$ es central. De ello se deduce que cada elemento puede escribirse como $x^ay^b[x,y]^c$ ; además por la condición de exponente, $a,b,c$ se puede elegir en $\{0,1,2\}$ . Esto da como resultado un máximo de 27 elementos y concluye la prueba.