Considere un intervalo unitario $X = [0, 1]$ dotado de Borel $\sigma$ -generada por la topología habitual. Busco un conjunto medible $K\subseteq X$ que tiene un $0$ medida de Lebesgue, pero tal que $\bigcap_{i}(K + x_i)$ es incontable para cualquier secuencia contable de $x_i\in X$ . Aquí la adición es cíclica, es decir, supongo que $0.6 + 0.5 = 0.1$ .
Respuesta
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Nótese que el teorema de la categoría Baire implica que si $U_n $ , $n\in \Bbb {N} $ son conjuntos densos abiertos, entonces $\bigcap U_n $ es denso. En particular, la intersección es incontable, ya que si fuera de la forma $\{x_n \mid n\} $ podríamos establecer $V_n = [0,1]\setminus \{x_n\} $ (que es abierta y densa), por lo que Baire implica de nuevo que $\bigcap U_n \cap V_n =\emptyset $ es denso, lo cual es absurdo.
Ahora, dejemos que $K =\bigcap U_n $ sea un conjunto nulo, donde el $U_n$ son conjuntos densos abiertos. La existencia de dicho conjunto puede verse de la siguiente manera: Sea $Q \subset [0,1]$ ser contable, denso, por ejemplo $Q = \Bbb{Q} \cap [0,1]$ . Entonces la medida de Lebesgue de $Q$ es $\lambda(Q) = 0$ . Así, por regularidad externa, hay para cada $n \in \Bbb{N}$ un conjunto abierto $U_n \supset Q$ (en particular, $U_n$ es denso en $[0,1]$ ) con $\lambda(U_n) < 1/n$ . Entonces, claramente, $K = \bigcap_n U_n$ satisface $0 \leq \lambda(K) \leq \lambda(U_n) <1/n$ para todos $n$ para que $K$ es un conjunto nulo como se desea.
Obsérvese que un desplazamiento cíclico es un homeomorfismo del intervalo unidad. Por lo tanto,
$$ \bigcap_i K+x_i = \bigcap_{i, n} (U_n +x_i) $$ Es incontable (como se ha visto anteriormente) ya que es una intersección contable de conjuntos densos abiertos.
