¿Una contradicción entre las leyes de Ampere-Maxwell y Biot-Savart?

Question

Me encontré con un problema que no puedo conseguir mi cabeza alrededor.

Considere dos muy pequeños y esféricos bolas metálicas dado cargas +Q y -Q. Suponga que se puede aproximar como punto de cargos. Ahora, están conectados por una escalera, finito, la realización de alambre. Circulará una corriente en el alambre hasta que los cargos en las dos bolas de convertirse en cero. Considere la posibilidad de un punto P sobre la mediatriz de la cuerda, a una distancia $r$ desde el cable. Mi objetivo es encontrar el campo magnético en el punto P, cuando la corriente en el alambre es $i$. La siguiente figura ilustra la mencionada situación.

Yo ahora uso el de Ampere-Maxwell ecuación para obtener una expresión para el campo.

He construido un bucle circular de radio $r$ alrededor del alambre, para utilizar el Ampere-Maxwell Ley. En primer lugar, uno debe notar que las dos cargas producen un campo eléctrico en todas partes en el espacio. Y ya que las bolas están recibiendo el alta, el campo eléctrico está cambiando. He calculado el flujo eléctrico a través de la superficie cuando los cargos en las bolas son +q y -q a continuación:

Ahora, para el final de la sustitución......

Así que he obtenido un buen resultado, después de todo! Pero, me di cuenta de que había un problema.

Me deja usar el Biot-Savart Ley para encontrar el campo magnético creado sólo debido a la corriente en el alambre. Esto es relativamente fácil de cálculo puesto que ya hemos aprendido la fórmula para el campo debido a un número finito cable de carga actual en la escuela:

La respuesta resulta ser el mismo.

Primero de todo, es la respuesta correcta? Si no, por favor explique de dónde me salió mal. Por mi normas, esto contaría como un "tedioso" de cálculo.

Esto es lo que no puedo entender. El Biot-Savart Ley te da el campo magnético creado solo por el flujo de corriente en un alambre conductor. Por otro lado, el Ampere-Maxwell Ley le otorga la red de campo debido a que el cable de carga actual y debido a que el campo magnético inducido (provocado por el cambio en el campo eléctrico).

Entonces, ¿cómo es que obtengo la misma respuesta en ambos casos? El Biot-Savart Ley no puede tener en cuenta para inducida por campos, ¿verdad?

¿Por qué parece ser que hay una incoherencia en las dos leyes? He perdido algo, o utiliza una fórmula en la que no es aplicable?

Gracias de antemano.

Answer 1

Implícitamente, lo que está haciendo en este problema es tomar el límite de $\epsilon_0\rightarrow 0$ en un electrodinámica problema.

Deje $q_+(t)$ $q_-(t)$ ser las dos cargas de las esferas en el momento $t$: $q_+(0)=Q$, $q_-(0)=-Q$. Puesto que la velocidad de la luz es (grande, pero finito, tomará un poco de tiempo finito para la carga a mover a través del alambre, por lo que $|q_-(t)|-|q_+(t)|\geq 0$, y la diferencia está en el alambre como una densidad de carga $\rho(t,x)$. La densidad de corriente en el alambre, a continuación, $I(x)=v(x)\rho(x)$ donde $v(x)$ es la velocidad de la carga en el alambre.

La versión de Ampere-Maxwell que tienes que usar es w.r.t. $q_+, q_-,\rho$ y los campos eléctricos y corrientes de estos dos inducir. Ahora, tomamos el límite de $\epsilon_0\rightarrow 0$. ¿Qué ocurre con las cantidades en el problema? En primer lugar, en $\epsilon_0=0$, la de Coulomb la fuerza es infinita, por lo $v(x)\rightarrow \infty$, y del mismo modo, debido a que la carga se mueve a través del alambre infinitamente rápido llegamos $|q_-(t)|-|q_+(t)|= 0$ y,por lo tanto, $\rho(x)=0$. Ahora, la densidad de corriente $I(x)$ debe ir a $dq/dt$, de modo que la ecuación de continuidad es satisfecho. Esto explica que el uso correcto de la densidad de corriente.

El campo eléctrico inducido es igual a la de campo por los cargos $q_-,q_+$, que se utiliza, además de la radiación efectos. Estos efectos radiativos (Véase el Lienard-Wiechert potenciales para un ejemplo) se desvanecen en el límite de $\epsilon_0\rightarrow 0$, que se lleva a $c\rightarrow \infty$. Así que para el campo eléctrico sólo tiene que utilizar el componente estático, como lo hizo. Este componente estático es infinito, pero el infinito cancela: la $\epsilon_0/\epsilon_0$ el tachado se encarga de eso.

Por completo de rigor matemático, usted tiene que ser un poco cuidadoso acerca de cómo tomar todos estos límites, pero te prometo que se comprueba.

Equivalentemente, si usted busca la Lienard-Wiechert potenciales en la wikipedia, usted encontrar la generalización relativista de la Biot-Savart ley. Si usted toma $\epsilon_0\rightarrow 0$ en esta expresión, de recuperar el Biot-Savart ley. Esto demuestra, en un punto de la rotonda de manera, que ambos enfoques son equivalentes.

Si leemos entre líneas del argumento anterior, lo que está oculto no es una prueba de que el Biot-Savart ley sólo se descuida la irradiación de campos. Las variaciones en la estática de Coulomb parte del campo eléctrico son correctamente tomados en cuenta por Biot-Savart, que es la razón por la que los dos métodos están de acuerdo.

Answer 2

Es muy interesante, de hecho. Normalmente Biot-Savart se deriva bajo condiciones de carga estática densidad, que claramente no es el caso aquí. Parecería también es posible derivar sólo suponiendo que la densidad de corriente es estático y el campo eléctrico (/ densidad de carga) se le permite crecer de manera lineal en el tiempo.

Si usted examina la derivación de Biot-Savart actualmente en la wikipedia, en un punto que invocar que la corriente es divergenceless. Si no hacemos esto, se podría haber usado un supuesto más débil y habría obtenido el total de Ampere-Maxwell ley.

Otra manera de verlo, en general, tenemos Jefimenko las ecuaciones sin embargo, si se examina con cuidado, verás que cuando la corriente es estática, Biot-Savart ley se recupera exactamente.

El supuesto clave es que en el problema de la corriente debe ser constante en el tiempo. En realidad, los dos acusados de esferas de metal unidas por un cable de descarga con un no-corriente constante y algunos de radiación va a ocurrir.

Answer 3

Creo que tu respuesta es correcta. El BS es la ley aplicable, siempre que las constantes de tiempo son largos en comparación con el tiempo que la luz tarda en cruzar el set-up.

Es posible incluir la corriente de desplazamiento (CC) en el BS de cálculo, pero no es un resultado general que el campo total calculado utilizando BS para la DC es siempre cero!!! Tghere es una discusión clara de esto en Berkely Curso de Física, volumen 2, pp256-263 (en mi edición).

Algo que otros análogos que sucede cuando la BS se utiliza para calcular el campo de la corriente que fluye a través de la conexión con una fuente de voltaje o corriente. En este caso, la BS cálculo debe incluir la corriente que fluye a través de todo el cable, incluidas las conexiones a la batería.

Answer 4

La ley de biot savart es válida sólo para corrientes constantes. En este caso, no hay ningún circuito, por lo que el flujo de cargas es instantaneous(almost). Así que la corriente es más como una función delta de dirac. Ley de Biot savart es inaplicable en estos casos y se debe recurrir a la ecuación maxwells en estas situaciones.