La función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que toma cada valor en $\mathbb{R}$ más de tres veces

Question

¿Existe una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que toma cada valor en $\mathbb{R}$ más de tres veces? Si no, ¿cómo podría yo demostrar que esa función no existe?

Answer 1

He aquí un continuo de solución:

$$f(x) = \begin{casos} 4x-3\lfloor x\rfloor & \text{si $\lfloor x\rfloor$ es aún} \\ 3\lfloor x\rfloor + 3 - 2x & \text{si $\lfloor x \rfloor$ es impar} \end{casos}$$

Este toma los valores de $0,4,2,6,4,8,6,10,8,\ldots$ a integer $x$ y se interpola linealmente entre ellos.

Cualquiera , incluso el número de us $2 millones de dólares es golpeado en$f(2m)$(un mínimo local),$f(2m-\frac32)$(la mitad de un creciente segmento de línea), y$f(2m-3)$ (un máximo local). Todos los demás números son golpeados por un punto en un creciente segmento de línea, entonces una disminución de uno, y por último, otro aumento.

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Una suave con la función de la misma forma total sería de $g(x)=ax+\sin x$, excepto el coeficiente de $un$ tiene que ser justo con el fin de obtener los máximos y mínimos locales a coincidir, y yo soy demasiado perezoso para averiguar lo que debería ser.

Answer 2

Yo soy la exportación de la respuesta que dio a una pregunta cerrada.

$$f(x)=2\left\lfloor\frac{x}{3\pi}\right\rfloor-\cos\left(3\pi\left\{\frac{x}{3\pi}\right\}\right)\tag{1}$$ es una función derivable que alcanza cualquier valor real en exaclty tres puntos, cuya gráfica es la siguiente:

$\hskip2in$

Si en $(1)$ de reemplazar "$3$" con el entero impar positivo de $2m+1$, se obtiene una función que alcanza cualquier valor real en exactamente $2m+1$ puntos. También puede tomar:

$$f(x) = T_{2m+1}\left(x-2\left\lceil\frac{x-1}{2}\right\rceil\right)+2\left\lceil\frac{x-1}{2}\right\rceil,$$

donde $T_{2m+1}$ es el $(2m+1)$-ésimo polinomio de Chebyshev de la primera clase. Este es un $C^1(\mathbb{R})$ función, también.

Answer 3

Sí, de hecho hay una manera muy general para la construcción de funciones como esta. Por ejemplo, esencialmente la misma prueba funciona para cualquier $n$ en lugar de sólo $3$.

Basta con señalar que $\mathbb R$ y $\mathbb R\times \{0,1,2\}$ tiene la misma cardinalidad. Para ver esto, observe que disponemos de un evidente de inyección de $\mathbb R\to \mathbb R\times \{0,1,2\}$, y podemos definir una inyección de la otra manera por $$f(x,y)=\begin{casos} \arctan x\ &\text{si } y = 0\\ \arctan x + \pi &\text{si } y = 1\\ \arctan x + 2\pi &\text{si } y = 2 \end{casos}$$ así por Bernstein-Schroeder , existen algunas bijection $g:\mathbb R\to \mathbb R\times \{0,1,2\}$. Ahora vamos a $h(x)$ ser el primer componente de $g(x)$.

Answer 4

He aquí un continuo, no a trozos función que hace, y es muy sencillo también. Considerar $$f(x) = \sin(x) + \frac{2x}{3\pi} \text{.}$$