La secuencia de Fibonacci es:
$$\left(f_n\right) = \left(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\dots\right)$$ cuando empezamos con $0$ $1$ y cada término de la secuencia es la suma de los dos términos anteriores.
A partir del índice en $n=0$, me di cuenta de que $f_0=0$, $f_5=5$, y $f_{12}=144$.
Digamos que de manera informal y que $0^0=0$ por ahora. Sé que este es un tema controvertido, pero aquí un breve resumen del argumento: la secuencia de $a_n=0^{1/n}$, converge a $0$ $n\to\infty$ (y es obvio que $\frac{1}{n}\to 0$). Para hacer el patrón claro,
$$f_0=0^0 \qquad f_5=5^1 \qquad f_{12}=12^2$$
Existe una $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $f_{n_0}=\left(n_0\right)^0$, existe un $n_1\in\mathbb{N}$ tal que $f_{n_1}=\left(n_1\right)^1$, y existe una $n_2\in\mathbb{N}$ tal que $f_{n_2}=\left(n_2\right)^2$.
(1) ¿existe un $n_3\in\mathbb{N}$ tal que $f_{n_3}=\left(n_3\right)^3$?
(2) En general, para todos los $k\in\mathbb{N}$, ¿existe alguna $n_k\in\mathbb{N}$ tal que $f_{n_k}=\left(n_k\right)^k$?
(Para aquellos de ustedes que no comprar ese $0^0=0$, solo tome $0$ $\mathbb{N}$ e iniciar con $f_1 = 1$$f_2 = 1$.)
