Dos grupos abelian finito con el mismo número de elementos de cualquier orden son isomorfos

Question

Supongamos que $G, H$ son grupos abelianos finitos con el mismo número de elementos de cualquier orden dada. Mostrar que son isomorfos.

Desde grupos abelianos finitos son isomorfos si y solamente si sus subgrupos de Sylow son, podemos restringir nuestra atención al caso donde $G, H$, son grupos de $p$, pero no puedo bastante hago pasado allí...

Answer 1

No dices cuánto estructura que han demostrado para abelian grupos, así que no te suponga mucho. Si usted ¿ sabe algo de la estructura de teoremas, por favor háganoslo saber. (E. g., hay un teorema que si $G$ es abelian, y $a$ es un elemento de $G$ de la máxima orden, entonces existe un subgrupo $H$ $G$ tal que $G = H\oplus \langle a\rangle$; ¿sabe usted que?) De todos modos...

Deje $G$ $H$ ser finito abelian $p$-a los grupos que tienen el mismo número de elementos de cada pedido. Queremos demostrar que $G$ $H$ son isomorfos.

Deje $p^n$ ser el más grande de orden de un elemento de $G$ ( $H$ ). Si $n=1$, $G$ $H$ son primarias abelian $p$-grupos; por lo que son espacios vectoriales sobre $\mathbf{F}_p$, y ya que tienen el mismo número de elementos, que son isomorfos (la misma dimensión).

Suponga que el resultado vale para abelian grupos cuyos pedidos más grandes se $p^k$, y deje $G$ $H$ ser la satisfacción de nuestros grupos de hipótesis y en la que los elementos mayores han oder $p^{k+1}$.

Mostrar que $pG$ $pH$ tienen el mismo número de elementos de cada orden, y que los elementos de pedidos más grandes tienen orden de $p^k$. Aplicar la inducción a la conclusión de $pG\cong pH$. Ahora a ver si se puede aprovechar de eso para llegar al $G\cong H$. Si necesitas más ayuda con los pasos, por favor pregunte a través de los comentarios.