Demostrar que la $p$-media es una función creciente del $p$

Question

Que $p\neq0$ y $j=1,2,\cdots,n$ y $x_j>0$ y $$\chi(p)=\left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nx_j^p\right)^\frac{1}{p}.$$ Prove that $\chi$ es estrictamente creciente y sostener las siguientes afirmaciones

1. $\lim\limits_{p\to0}\chi(p)=(x_1x_2\cdots x_n)^\frac{1}{n}$
2. $\lim\limits_{p\to+\infty}\chi(p)=\max\{x_1,x_2,\cdots, x_n\}$
3. $\lim\limits_{p\to-\infty}\chi(p)=\min\{x_1,x_2,\cdots, x_n\}$

¡No tengo ninguna idea para demostrar que!

Answer 1

Las pruebas que buscas están en el capítulo III (la alimentación significa) de manual de medios y sus desigualdades por P. S. Bullen [Kluwer, 2003].