Cómo evaluar $\int_0^1 {\cos(tx)\over \sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x$ ?

Question

Me gustaría calcular la integral

$$\int_0^1 {\cos(tx)\over \sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x$$

He tratado de considerar la integral como coeficiente de Fourier de $f(x)=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$ Sin embargo, no hay ideas. Además, dejemos $F(t)$ denota la integral anterior en función de t, después de derivar $F(t)$ No pude hacer ningún avance. ¿Alguien tiene ideas?

Answer 1

Sugerencia :

Derivación en $t$ ,

$$I'=-\int_0^1\frac{x\sin(tx)}{\sqrt{1+x^2}}dx.$$

Entonces, por partes,

$$I'=-\left.\sqrt{1+x^2}\sin(tx)\right|_0^1+t\int_0^1\sqrt{1+x^2}\cos(tx)\,dx=-\sqrt2\sin(t)+tJ.$$

Derivando por segunda vez en $t$ ,

$$I''=-\int_0^1\frac{x^2\cos(tx)}{\sqrt{1+x^2}}dx=-J+I,$$ (con $x^2=1+x^2-1$ ) para que

$$tI''-I'-tI=\sqrt2\sin(t).$$

Answer 2

Déjalo:

$$E(t)=\int\limits_0^1\dfrac{\exp(jtx)}{\sqrt{1+x^2}}dx,\quad j=\sqrt{-1}$$

Derívalo $n$ veces con respecto a $t$ :

$$E^{(n)}(t)=j^n\int\limits_0^1\dfrac{\exp(jtx)}{\sqrt{1+x^2}}x^ndx$$ $$E^{(n)}(0)=j^n\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}dx$$

Por partes:

$$I_n=\int\limits_0^1\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^2}}dx=x^{n-1}\left.\sqrt{1+x^2}\right|_0^1-(n-1)\int\limits_0^1\dfrac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}x^{n-2}dx$$ $$nI_n=\sqrt2-(n-1)I_{n-2}$$
$$I_0=\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\left.\ln|x+\sqrt{1+x^2}|\right|_0^1 = \ln(1+\sqrt2)$$

Serie Maclaurin:

$$E(t)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac1{n!}j^nI_nt^n,\quad J(t)=\int\limits_0^1\dfrac{\cos(tx)}{\sqrt{1+x^2}}dx = \operatorname{Re} E(t)$$

Artículos con $n=2k-1$ sólo tienen parte imaginaria, por lo que podemos tomar en consideración sólo los artículos con $n=2k$ :

$$\boxed{J(t)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{k!}J_kt^{2k},\quad J_0=\ln(1+\sqrt2),\quad J_k=\dfrac{\sqrt2}{2k}-\dfrac{2k-1}{2k}J_{k-1}}$$

Answer 3

$\quad\displaystyle\int_0^\infty{\cos(tx)\over\sqrt{1+x^2}}~dx~=~K_0\Big(|t|\Big),~$ véase Función de Bessel para más información . Tal y como está,

sin embargo, la integral no puede expresarse ni siquiera en términos de esas funciones especiales $($ a menos que,

por supuesto, permitimos funciones de Bessel "incompletas" $)$ .

Answer 4

Esa integral no es una pregunta sencilla, en absoluto.

Dado que el rango de integración está limitado a $[0, 1]$ se puede utilizar la expansión en serie, hasta el segundo (o tercer) orden para la función $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . Por lo tanto, utilizando

$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{3}{8}x^4 + \ldots $$

Puede resolver fácilmente la integración de

$$\mathcal{J}(t) = \int_0^1\ \cos(tx)\cdot\left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\text{d}x$$

que le llevará a obtener

$$ \dfrac1t\int_0^1 \left(1-\frac {x^2}2\right)\dfrac{d\sin(tx)}{dx}dx = \mathcal{J}(t) = \left.\dfrac1t\left(1-\frac {x^2}2\right)\sin(tx)\right|_{x=0}^{x=1} - \dfrac1t\int_0^1 (-x\sin(tx))dx = \dfrac{\sin t}{2t} - \dfrac1{t^2}\int_0^1 x\dfrac{d\cos(tx)}{dx}dx = \dfrac{\sin t}{2t} - \left.\dfrac{x\cos(tx)}{t^2} \right|_{x=0}^{x=1} - \dfrac1{t^2}\int_0^1 cos(tx)dx = {\dfrac{\sin t}{2t} - \left.\dfrac{\cos x}{t^2} - \dfrac{\sin(tx)}{t^3}\right|_{x=0}^{x=1}} = \left(\dfrac1{2t}-\dfrac1{t^3}\right)\sin t - \dfrac{\cos t}{t^2}.$$ Otra posibilidad es utilizar más términos en la aproximación. No sabes el valor de $t$ pero esto no significa nada porque está en la función coseno, mientras que la raíz cuadrada sólo depende de $x$ .

Para mí, encaja.

Hay, por supuesto, otros métodos. Quizá escriba otro aquí, más adelante.

Answer 5

CONSEJO: Esta integral no tiene una expresión estándar elemental. Puedes desarrollarla en expansión en serie (a mano o con una calculadora) para obtener $${\cos(tx)\over \sqrt{1+x^2}}= 1+A_1(t)x^2+A_2(t)x^4+A_3(t)x^6+.......$$ entonces toma los valores $[...]_0^1$ (Después de la integración, por supuesto; obtendrá una función de $t$ ).