El Problema: En el de Pitágoras trillizos (a,b,c) cuando a < b , entonces b no puede ser un número primo.
El Fondo: Mientras que la búsqueda de las propiedades de Pitágoras tripletas en la web vi muy pocos en la lista, pero no veo la de arriba que yo pensaba era cierto, porque yo había desarrollado una prueba.
La Petición: Como se ha discutido muchas veces en este sitio quiero solicitar algunas pruebas alternas (o contraejemplos) antes de compartir la mía para una revisión.
Utilizamos "Euclides" fórmula para la generación de las ternas Pitagóricas. El trabajo se puede hacer mucho más elegante, con mucho menos de la maquinaria. Por favor, ver a Bill Dubuque la respuesta.
Las ternas Pitagóricas todos tienen forma $k(x^2-y^2)$, $k(2xy)$, $k(x^2+y^2)$. Aquí $x$ $y$ son enteros positivos tales que a $x \gt y$ (e $x$ $y$ son relativamente primos, y de frente a la paridad, a pesar de que estos hechos no importan para la prueba). Si una pierna es ser el primer necesitamos $k=1$.
Ciertamente, $2xy$ no puede ser primo. Y $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ no puede ser un primo, a menos $x=y+1$. Así que de ahora en adelante podemos asumir que $x=y+1$.
Por lo $x^2-y^2=(y+1)^2-y^2=2y+1$. Pero $2xy=2(y-1)(y)=2y^2-2$. No podemos tener a $2y+1\gt 2y^2-2$. Por lo que la pierna $2y+1$ debe ser el más pequeño. En particular, la mayor de las dos piernas no puede ser primo.
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