Regla del producto de derivados débiles

Question

Estoy trabajando en demostrar la siguiente proposición: Si $u,v\in {W^1(\Omega)}$$uv,uDv+vDu\in L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$, luego tenemos la fórmula del producto $$D(uv)=uDv+vDu.$$

La definición que uso para el débil de derivados: Una función de $u\in L^1_{loc}(\Omega)$ $\alpha-$th débil derivado en $\Omega$ si hay una función de $v\in L^1_{\operatorname{loc}}(\Omega)$: $$\int_{\Omega}uD^\alpha\phi=(-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}v\phi dx\quad \forall\,\phi\in C^\infty_0(\Omega)$$ $u\in W^1(\Omega)$ significa que se tiene la primera débiles derivados.

He buscado en la internet. La mayoría de ellos sólo demostró el caso de $u\in W^1(\Omega)$$v\in C^1(\Omega)$. Este es el primer paso de la prueba. Yo quiero probar el caso general, por aproximación. Es decir, vamos a $v_\epsilon$ denotar la regularización (o mollification) de $v\in W^1(\Omega)$, entonces es cierto $$D(uv_\epsilon)=v_\epsilon Du+uDv_\epsilon$$ o, equivalentemente, $$\int_{\Omega}uv_\epsilon D\phi=-\int_{\Omega}(v_\epsilon Du+uDv_\epsilon)\phi dx\quad \forall\,\phi\in C^\infty_0(\Omega)$$ Estoy tratando de probar $$\int_{\Omega}uv_\epsilon D\phi\to \int_{\Omega}uvD\phi\text{ as }\epsilon\to 0$$ $$\int_{\Omega}(v_\epsilon Du+uDv_\epsilon)\phi dx\to \int_{\Omega}(v Du+uDv)\phi dx\text{ as }\epsilon\to 0$$ Pero no puedo lograr, incluso para el primer límite. Puede alguien darme alguna idea? Tal vez me estoy dirigiendo una dirección equivocada. Pero estoy bastante convencido de que la mollification es tan bueno que esto debe ser verdadero.

Por otro lado, esta fórmula es muy elemental en el espacio de Sobolev. Probablemente usted puede probar esta proposición por la distribución de la teoría(o de la generalización de la función), sin embargo, suena a trampa para mí, de alguna manera, porque aquí nuestra definición se observa con la distribución.

Answer 1

Yo aún no tienen idea de probar $$\int_{\Omega}u v_\epsilon D\phi\to \int_{\Omega}uvD\phi\text{ as }\epsilon\to 0$$ Así que he demostrado en otra dirección. Puedo resolver el problema en el marco de la más restrictiva suposición $uv, uDv,vDu\in L_{loc}^1(\Omega)$ respectivamente. El siguiente es cómo he conseguido

Paso 1: probar el caso $u\in W^1(\Omega)$, $v\in C^1(\Omega)$

Stpe 2: probar el caso $u,v\in W^{1}(\Omega)\cap L^\infty_{loc}(\Omega)$ por el paso 1. Los lectores también pueden ver la prueba en page269 de Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y Ecuaciones Diferenciales Parciales (Haim Brezis)

Paso 3: Definir $f\in C^0(\mathbb{R}^n)$ $$f_n(t)=\begin{cases}n,\quad t>n\\ t,\quad |t|\leq n\\ -n,\quad t<-n\end{cases}$$ a continuación, $f_n$ es seccionalmente suave en $\mathbb{R}$$f_n'\in L^\infty (\mathbb{R})$. Así $f_n(u)\in W^1(\Omega)$ por lema 7.8 en Gilbarg y Trudinger del bk y $$D(f_n(u))(x)=\begin{cases}Du(x),\quad |u(x)|\leq n,\\0,\quad\quad |u(x)|>n.\end{cases}$$ Denotar $u_n=f_n(u)\in W^1(\Omega)\cap L^\infty_{loc}(\Omega)$$v_n=f_n(v)\in W^1(\Omega)\cap L^\infty_{loc}(\Omega)$. En el paso 2 que hemos $u_nv_n\in W^1(\Omega)$ y $$\int_{\Omega} u_nv_n D\phi dx=-\int_{\Omega}(u_nDv_n+v_n Du_n)\phi dx\quad \forall\, \phi\in C^\infty_0(\Omega)$$ Tenga en cuenta que por supuesto $$|u_nv_n|\leq |uv|\in L^1_{loc}(\Omega)$$ $$|u_nDv_n|\leq |uDv|\in L^1_{loc}(\Omega)$$ $$|v_nDu_n|\leq |vDu|\in L^1_{loc}(\Omega)$$ Dominando a un teorema de convergencia, dejando $n\to \infty$ $$\int_{\Omega} uv D\phi dx=-\int_{\Omega}(uDv+v Du)\phi dx\quad \forall\, \phi\in C^\infty_0(\Omega)$$ $Q.E.D.$

Como he dicho antes, necesitamos $uDv$ $vDu\in L^1_{loc}(\Omega)$ respectivamente, debido a que no tenemos $$|u_nDv_n+v_nDu_n|\leq |uDv+vDu|$$ Esto es muy cerca a la hipótesis original. Puede alguien darme más ideas?

Answer 2

Tengo algunos avances. Parece que puede resolver. Por favor me ayudan a comprobar la prueba.

Siga la prueba de paso 1-3

Paso 4: Considere el problema adicional suposición $u\geq 0$$v\geq 0$.

En primer lugar, asumimos $v\geq 1$. Definir $\tilde{u}_n=\min\{u,\frac{n}{v}\}=u+(\frac{n}{v}-u)^+$. Desde $u,\frac{n}{v} \in W^1(\Omega)$,$\tilde{u}_n\in W^1(\Omega)$, satisface $0\leq \tilde{u}_n v\leq n$, además $$D\tilde{u}_n=\begin{cases}Du,\quad uv<n\\-n\frac{Dv}{v^2},\quad uv\geq n\end{cases}\in L^1_{loc}(\Omega)$$ $$vD\tilde{u}_n+\tilde{u}_n Dv=\begin{cases}vDu+uDv,\quad uv<n\\0,\quad uv\geq n\end{cases}\in L^1_{loc}(\Omega)$$ Supongamos $\displaystyle f_\epsilon(t)=\frac{t}{1+\epsilon t}$ definido en $\mathbb{R}_+^1$ donde $\epsilon>0$. A continuación, $f_\epsilon$ es seccionalmente suave de la función en $\mathbb{R}_+^1$$f'_\epsilon\in L^\infty(\mathbb{R}_+^1)$. Por el lema de 7.8 en Gilbarg y trudinger del libro, $f_\epsilon(\tilde{u}_n)\in W^1(\Omega)$. Tenga en cuenta que $f_\epsilon(u)\in L^\infty(\Omega)$ por la conclusión de la etapa 3, $$\int_{\Omega}f_\epsilon(\tilde{u}_n) vD\phi=-\int_{\Omega}[Df_\epsilon(\tilde{u}_n)v+f_\epsilon(\tilde{u}_n)Dv]\phi$$ que es $$\int_{\Omega}\frac{\tilde{u}_n}{1+\epsilon \tilde{u}_n}vD\phi=-\int_{\Omega}\frac{\tilde{u}_nDv+vD\tilde{u}_n}{1+\epsilon \tilde{u}_n}\phi+\int_{\Omega}\frac{\epsilon \tilde{u}_nvD\tilde{u}_n}{(1+\epsilon \tilde{u}_n)^2}\phi\quad (1)$$ Dominando a un teorema de convergencia, como $\epsilon\to 0$ $$\int_{\Omega}f_\epsilon(\tilde{u}_n) vD\phi\to \int_{\Omega}\tilde{u}_nvD\phi$$ $$\int_{\Omega}\frac{\tilde{u}_nDv+vD\tilde{u}_n}{1+\epsilon\tilde{u}_n}\phi\to \int_{\Omega}(\tilde{u}_nDv+vD\tilde{u}_n)\phi$$ Y $$\left|\int_{\Omega}\frac{\epsilon \tilde{u}_nvD\tilde{u}_n}{(1+\epsilon\tilde{u}_n)^2}\phi\right|\leq \epsilon n\int_{\Omega}|D\tilde{u}_n||\phi|\to 0\text{ as }\epsilon\to 0$$ Dejar $\epsilon\to 0$, $(1)$ implica $$\int_{\Omega}\tilde{u}_nvD\phi=-\int_{\Omega}[vD\tilde{u}_n+\tilde{u}_nDv]\phi$$ Ya que para cualquier $n>0$ $$|\tilde{u}_nv|\leq |uv|$$ $$|vD\tilde{u}_n+\tilde{u}_nDv|\leq |vDu+uDv|$$ dominando a un teorema de convergencia, dejando $n\to \infty$ $$\int_{\Omega}uvD\phi=-\int_{\Omega}[vDu+uDv]\phi$$

Si sólo sabemos $v\geq 0$, considere la posibilidad de $u$$v+1$, repetir la prueba $$\int_{\Omega}u(v+1)D\phi=-\int_{\Omega}[(v+1)Du+uD(v+1)]\phi$$ tenga en cuenta que $u\in W^1(\Omega)$, esto es equivalente a $$\int_{\Omega}uvD\phi=-\int_{\Omega}[vDu+uDv]\phi$$

Paso 5: Considerar el caso más general con ninguna suposición. Desde $$u^+v^+, u^+v^-, u^-v^+,u^-v^-\in L^\infty_{loc}(\Omega)$$ $$v^{\pm}Du^\pm+u^\pm Dv^\pm\in L^\infty_{loc}(\Omega)\text{ respectively }$$ paso 4 implicará $$u^\pm v^\pm\in W^1(\Omega),\quad D(u^\pm v^\pm)=v^{\pm}Du^\pm+u^\pm Dv^\pm$$ Así $$uv= u^+v^+-u^+v^-- u^-v^++u^-v^-\in W^1(\Omega)$$ y $$D(uv)=uDv+vDu$$