Utilice las ecuaciones de Cauchy-Riemann para determinar todas las funciones diferenciables que satisfacen $Re(f(z))=xy$
Creo que sé cómo hacer este problema. Si dejamos que $z=x+iy$ entonces $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ . Se nos da $u(x,y)=xy$ . Las ecuaciones de Cauchy-Riemann nos dan, tras algunos cálculos, que $f(x,y)=xy+i(\frac{y^2-x^2}{2}+C)$ , $C \in \mathbb{R}$ .
Estoy algo insatisfecho de que mi respuesta se exprese en términos de $x$ y $y$ me gustaría tenerlo en términos de una variable compleja $z$ en lugar de dos variables reales $x$ y $y$ [aunque sean equivalentes].
He intentado hacer esto con las identidades $x=\frac{z+\bar{z}}{2}$ y $y=\frac{z-\bar{z}}{2i}$ pero llego a algo que implica $z$ y $\bar{z}$ . Tengo entendido que las funciones diferenciables (y por lo tanto analíticas) no deberían tener un $\bar{z}$ en sus fórmulas, ¿qué estoy haciendo mal?
