Grupo de Galois del campo de división del polinomio $x^5 - 2$ en $\mathbb Q$

Question

Sabemos que el campo de división de $x^5 - 2 $ en $\mathbb Q$ es $\mathbb Q(2^{1/5}, \rho)$ , donde $\rho$ es una quinta raíz de la unidad.

Por lo tanto, $\left[\mathbb Q(2^{1/5} , \rho) : \mathbb Q \right] = 20 $ . Sea $G$ sea el grupo de Galois de $\mathbb Q(2^{1/5} , \rho)$ . Entonces $|G| = 20$ .

Cómo encontrar el grupo de Galois $G$ ?

¿Podemos generalizar al grupo de Galois del campo de división de $x^p -2$ en $\mathbb Q$ ?

Answer 1

Es el grupo de Frobenius $C_5\rtimes C_4$ .

Una pista: Comienza con $$\sigma:\left\{\begin{array}{l}2^{1/5}\mapsto \rho 2^{1/5}\\ \rho\mapsto \rho\end{array}\right.\hspace{15pt}\text{and}\hspace{15pt}\tau:\left\{\begin{array}{l}2^{1/5}\mapsto 2^{1/5}\\ \rho \mapsto \rho^2\end{array}\right.$$ Para generalizar, fíjese en el orden $\bmod p$ del poder en $\tau$ y jugar con la conjugación $\tau^{-1}\sigma\tau$ hasta que su grupo salga a la altura de su extensión.

Answer 2

Por el Teorema de Sylow, tenemos que $P_5\trianglelefteq G$ es normal, lo que esperamos ya que $\Bbb Q(\rho)/\Bbb Q$ es Galois. Como sabemos que $\text{Gal}(\Bbb Q(\rho)/\Bbb Q)\cong \Bbb Z/4$ vemos que hay una suryección $G\to\Bbb Z/4$ Por lo tanto, vemos que tenemos la secuencia corta y exacta:

$$1\to \Bbb Z/5\stackrel{i}{\longrightarrow} G\stackrel{p}{\longrightarrow} \Bbb Z/4\to 1.$$

Ahora bien, como el mapa $G\to \Bbb Z/4$ es suryente, $G$ tiene un elemento de orden $4$ por lo que tenemos una sección de la suryección, es decir, un mapa $\psi: \Bbb Z/4\to G$ tal que $\psi\circ p= \text{id}_{P_2}$ y concluimos $G$ es un producto semidirecto, pero como $P_2$ no es normal $\Bbb Q \left(\sqrt[5] 2\right) /\Bbb Q$ no es Galois después de todo--tenemos que el producto no es directo así:

$$G\cong \Bbb Z/4\ltimes \Bbb Z/5$$

También podemos generalizar: Con $\zeta_p$ una primitiva $p^{th}$ raíz de $1$ tenemos $\text{Gal}\left(\Bbb Q(\zeta_p)/\Bbb Q\right)$ es siempre isomorfo a $\left(\Bbb Z/p\right)^*$ que es cíclico cuando $p$ es primo, la secuencia siempre se dividirá por la suryectividad del mapa de $G\to\Bbb Z/(p-1)$ y siempre se obtendrá el producto semidirecto de la falta de ser abeliano.