Contar palabras de 5 letras que incluyan al menos una vocal

Question

¿Cuántas secuencias hay de cinco letras minúsculas que incluyan al menos una vocal (a, e, i, o, u)?

¿Qué hay de erróneo en la siguiente solución?

Hay cinco opciones para la vocal determinada y $26$ opciones para cada una de las cuatro letras restantes. La vocal determinada puede aparecer en cualquiera de los cinco espacios. Por lo tanto, el número es $5\times26^4\times5=11{,}424{,}400$ .

Este número difiere de la solución $26^5-21^5=7{,}797{,}275$ .

Answer 1

"Hay cinco opciones para la vocal y $26$ opciones para cada una de las cuatro letras restantes. La vocal determinada puede aparecer en cualquiera de los cinco espacios".

Si la "cierta" vocal está en la primera posición, entonces tu secuencia podría ser "aeghp", y si la "cierta" vocal está en la segunda posición, entonces tu secuencia podría ser "aeghp". Así que estás contando esa misma secuencia dos veces, y de forma similar con muchas otras.

Sin embargo, si se resta el número de secuencias con no vocales del número total de secuencias, eso lo hace: el problema descrito anteriormente no se produce. Así, $26^5 - 21^5$ .

Answer 2

Una pista: Haz los números más pequeños y podrás ver por ti mismo qué es lo que falla en tu solución errónea.

¿Cuántas secuencias hay de dos letras del alfabeto $\{a,b,e\}$ que contienen al menos una vocal?

Solución correcta: Hay $3^2=9$ palabras de dos letras, hay $1^3=1$ palabra sin vocales, por lo que $9-1=8$ palabras con al menos una vocal.

Solución errónea: Hay $2$ opciones para la vocal y $3$ opciones para la otra letra. La vocal puede aparecer en cualquiera de los dos espacios. Por lo tanto, el número es
$2\times3\times2=12$ .

¿Por qué, te preguntarás, hacerlo con números más pequeños hace que sea más fácil encontrar el error? Bueno, en realidad puedes enumerar los $12$ secuencias que contaste con el segundo método, y luego puedes ver cuáles fueron contadas dos veces.

Answer 3

El problema es que cuenta en exceso los casos en los que el resto $4$ las letras tienen vocales entre ellas.

Usted podría arreglar esto haciendo un trabajo de caso sobre el número de vocales. Tendrías cinco términos correspondientes a las cinco posibilidades ( $1$ vocal, $2$ vocales, etc.), donde el número $21$ aparecería un montón porque las no vocales tendrían $21$ posibilidades. Pero hay una manera mucho más fácil.

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Podemos contar el número de secuencias con no vocales, y restarlo del número total de secuencias. Hay $21$ las no vocales y $26$ letras, por lo que obtenemos

$$26^5-21^5 =\boxed{7797275}$$

Answer 4

Estás contando el número de formas de crear una palabra con exactamente 1 vocal. Lo que quieres hacer es contar el número de palabras totales con cinco letras: $26^5$ y restar el número de palabras con sólo consonantes: $(26-5)^5 = 21^5$ .