¿Cuáles son las aplicaciones interesantes de la geometría hiperbólica?

Question

Soy consciente de que, históricamente, la geometría hiperbólica sirvió para demostrar que puede haber geometrías consistentes que satisfagan los 4 primeros axiomas de los elementos de Euclides pero no el quinto, el infame postulado de las líneas paralelas, poniendo fin a siglos de intentos infructuosos de deducir el último axioma a partir de los primeros.

Parece ser, además de este hecho, de auténtico interés ya que formaba parte del currículo habitual de todos los matemáticos de principios de siglo y también porque hay muchos libros sobre el tema.

Sin embargo, no he encontrado mención a las aplicaciones de la geometría hiperbólica a otras ramas de las matemáticas en los pocos libros que he muestreado. ¿Conoce alguna o dónde podría encontrarla?

Answer 1

Tal vez no sea el tipo de respuesta que buscas, pero me parece sorprendente la frecuencia con la que la geometría hiperbólica aparece en la naturaleza. Por ejemplo, en las hojas de lechuga y en los tentáculos de las medusas se pueden ver algunas "arrugas" característicamente hiperbólicas:

Mi suposición sobre por qué esto aparece una y otra vez (y ciertamente no soy un biólogo, así que esto es sólo una especulación) es que el espacio hiperbólico consigue empaquetar más superficie dentro de un radio dado que las geometrías planas o de curvatura positiva; tal vez esto permite que las hojas de lechuga o los tentáculos de las medusas absorban los nutrientes de manera más eficaz o algo así.

EDIT: En respuesta al comentario del OP, diré un poco más sobre cómo se relacionan con la geometría hiperbólica.

Una forma de detectar la curvatura de su superficie es mirar cuál es la superficie de un círculo de un radio determinado. En el espacio plano (euclidiano), todos sabemos que la fórmula viene dada por $A(r) = \pi r^2$ , de modo que hay una relación cuadrática entre el radio de su círculo y el área encerrada. No sé cuál es la fórmula para un círculo inscrito en la esfera (una superficie de curvatura positiva), pero podemos obtener una indicación de que los círculos de curvatura positiva encierran menos que en el espacio plano: la semiesfera superior de una esfera de radio 1 es un círculo esférico de radio $\pi/2$ ya que la distancia del polo norte al ecuador, caminando por la superficie de la esfera, es $\pi/2$ . En el espacio plano, este círculo encerraría un área de $\pi^3/4 \approx 7.75$ . Pero el hemisferio superior tiene una superficie de $2 \pi \approx 6.28$ .

Por el contrario, en el espacio hiperbólico, un círculo de radio fijo tiene más superficie que su homólogo plano o de curvatura positiva; esto se puede ver explícitamente, por ejemplo, poniendo una métrica hiperbólica en el disco unitario o en el semiplano superior, donde se calcula que un círculo hiperbólico tiene un área que crece exponencialmente con el radio.

Entonces, ¿qué sucede cuando se tiene una superficie hiperbólica dentro de un espacio tridimensional? Bueno, toda esa superficie extra tiene que ir a alguna parte, y las cosas, naturalmente, se "arrugan". Si te interesa, puedes hacer crochet de planos hiperbólicos (ver, por ejemplo, este artículo de David Henderson y Daina Taimina), y verás cómo ocurre en la práctica.

Answer 2

El "yunque", como usted lo llama, sirve no sólo como uno de los contactos eléctricos, sino también para sostener físicamente el chip, proporcionar un poco de disipación de calor, y proporcionar cierta directividad a la luz emitida (el chip normalmente se asienta en una depresión en forma de copa). El "poste" sólo necesita tener un cable de unión unido a él, por lo que puede ser mucho más pequeño.

Answer 3

Hay varias aplicaciones de las superficies hiperbólicas en la cristalografía, en particular, a las superficies mínimas periódicas.

Puede encontrar más información aquí

Answer 4

La geometría hiperbólica se ha utilizado para construir modelos del sistema de visión humano y del "espacio de color". He aquí una referencia: http://www.perceptionweb.com/abstract.cgi?id=p060221

Answer 5

Alejar la cámara de una parte de un folleto y acercarla a otra, de la forma más eficaz y fluida posible. Vea la charla de Dror Bar-Natan: Las matemáticas más difíciles que he utilizado .