La "longitud" de racionales en un intervalo de

Question

Para $x \in \mathbb{R}$, definir $r(x)$ como sigue: $$ r(x)= \begin{cases} 1 &\text{if %#%#% is rational},\\ 0 &\text{if %#%#% is irrational}. \end{casos} $$

P. ¿Qué es $x$ ?

Sé que los racionales son densos en un intervalo, pero contables, y así "disperso."

Mi motivación es un deseo de promedio durante los racionales, y en cierto sentido esta integral sería el denominador. Si la integral es cero, entonces voy a tener que pensar en otra ruta. Gracias!

Answer 1

Depende de si usted está considerando la integral de Riemann o la integral de Lebesgue.

Tenga en cuenta que cada intervalo de cualquier partición de $[0,1]$ contiene un punto racional, por lo que cualquier superior suma de$r(x)$$1$. Del mismo modo, cualquier menor suma de $r(x)$ es 0. Por lo tanto, $r(x)$ no es Riemann integrable.

Sin embargo, $r(x)$ es la función de indicador de $\mathbb{Q}$, que es un conjunto medible, por lo $r(x)$ es Lebesgue integrable en $[0,1]$. Desafortunadamente, debido a que $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ es contable, se tiene medida cero. Por lo tanto, podemos calcular la integral de Lebesgue: $$\int_{0}^{1} \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} \, d\mu = \mu(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0$$

Answer 2

Otros se han centrado en el valor específico de la integral de la misma. Sin embargo, es claro a partir de su descripción en la que usted desea evaluar algo a lo largo de las líneas de $$ \frac{\int_0^1 f(x)r(x)dx}{\int_0^1 r(x)dx} $$ donde $r(x)$ es la racional indicador de función.

Mientras que el componente de las integrales no pueden ser evaluados, el concepto general es todavía significativa. Es probable que la mejor manera de pensar en esto en términos de una suma de Riemann restringido a los subconjuntos de los racionales. En efecto, usted busca $$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n!}\sum_{i=1}^{n!} f\left(\frac{i}{n!}\right) $$ cuando restringimos $n$ a valores enteros. Tenga en cuenta que he escogido $n!$ a garantizar que las sumas posteriores siempre se incluyen todos los puntos de la anterior legislatura. También tenga en cuenta que esto es utilizando el lado derecho del valor de cada punto, lo que significa que f(0) no afecta a la suma en cualquier momento.

Cabe señalar que esta expresión no puede ser bien definidos para algunas funciones, y para otros puede no estar definida de forma única. Una más rigurosa definición implicaría $\limsup$$\liminf$, y un requisito de que estos ser igual para el "promedio" para existir.

Answer 3

La integral existe en el Lebesgue sence y es igual a cero. Esto es porque los racionales tienen medida cero, siendo una contables conjunto. $r$ es la función característica de los racionales, y por tal, la función de la integral está dada por $$ \int_0^1 r(x) \, dx = \lambda([0,1] \cap \mathbf Q) $$ donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue. Tenemos para medir los conjuntos de $A \subseteq \mathbf R$ que $$ \lambda(A) = \inf \left\{ \sum_{i=1}^\infty (b_i - a_i) \mid A \subseteq \bigcup_i [a_i, b_i) \right\} $$ Ahora para una contables $A = \{c_n \mid n \in \mathbf N\}$ (por ejemplo,$A = [0,1]\cap \mathbf Q$), y cualquier $\epsilon > 0$, vamos $b_i = c_i + \epsilon 2^{-(i+1)}$, $a_i = c_i - \epsilon 2^{-(i+1)}$ a continuación, $A \subseteq \bigcup_i [a_i, b_i)$ y $$ \sum_i (b_i - a_i) = \sum_i \epsilon 2^{-i} = \epsilon. $$ Por lo tanto $\lambda(A) \le \epsilon$ por cada $\epsilon$, dando $\lambda(A) = 0$. Por lo tanto $$ \int_0^1 r(x) \, dx = \lambda(\mathbf Q \cap [0,1]) = 0. $$