Divergencia de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(\log(n))}{n}$

Question

Estoy luchando por demostrar que $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(\log(n))}{n}$$ diverge.

¿Alguien tiene idea de cómo probarlo? Dividirlo en trozos más pequeños no funciona. ¿Tal vez deba ligarlo con otra serie? ¿Pero cómo?

Answer 1

Por cada $k$ , defina $$N_k=\lceil\exp(2k\pi-\pi/3)\rceil\qquad M_k=\lfloor\exp(2k\pi+\pi/3)\rfloor$$ Entonces, para cada $k$ y cada $N_k\leqslant n\leqslant M_k$ , $$2\cdot\cos(\log n)\geqslant1$$ por lo que $$ 2\sum_{n=N_k}^{M_k}\frac{\cos(\log n)}n\geqslant\sum_{n=N_k}^{M_k}\frac1n\geqslant(M_k-N_k)\frac1{M_k}=1-\frac{N_k}{M_k} $$ Ahora, cuando $k\to\infty$ , $$\frac{N_k}{M_k}=\mathrm e^{-2\pi/3}+o(1)$$ por lo que $$2\sum_{n=N_k}^{M_k}\frac{\cos(\log n)}n\geqslant1-\mathrm e^{-2\pi/3}+o(1)$$ ¿Puedes terminar?

Answer 2

Dejemos que

$$B_{1}(x) = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2}$$

sea el polinomio periódico de Bernoulli de orden 1. Usando la integral de Riemann-Stieltjes,

\begin{align*} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{1+i}} &= \int_{1^{-}}^{N} \frac{d[t]}{t^{1+i}} = \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^{1+i}} - \int_{1^{-}}^{N} \frac{dB_{1}(t)}{t^{1+i}} \\ &= \frac{i}{N^{i}} - i - \left[ \frac{B_{1}(t)}{t^{1+i}} \right]_{1^{-}}^{N} - (1 + i)\int_{1}^{N} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt \\ &= \frac{i}{N^{i}} + \frac{1}{2N^{1+i}} - i + \frac{1}{2} - (1 + i)\int_{1}^{N} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt \\ &= \frac{i}{N^{i}}- i + \frac{1}{2} - (1 + i)\int_{1}^{\infty} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt + O(N^{-1}). \tag{*} \end{align*}

Tomando partes reales, encontramos que para alguna constante $c$ ,

$$ \sum_{n=1}^{N} \frac{\cos\log n}{n} = \sin\log N + c + O(N^{-1}). $$

Por lo tanto, la suma diverge como $N \to \infty$ . De hecho, una investigación más detallada muestra que la parte constante de la estimación $\text{(*)}$ es igual a $\zeta(1+i)$ , donde $\zeta(s)$ es la función zeta de Riemann. Por lo tanto, tenemos

$$ \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{1+i}} = \frac{i}{N^{i}} + \zeta(1 + i) + O(N^{-1}) $$

e igualmente

$$ \sum_{n=1}^{N} \frac{\cos\log n}{n} = \sin\log N + \Re\zeta(1 + i) + O(N^{-1}) $$