Límite de un producto de funciones trigonométricas

Question

Tengo que encontrar el siguiente límite: $$J=\lim_{N\to\infty}\prod_{k=1}^N \cos\left(\frac{\pi}{k^2}\right).$$ ¿Cómo puedo calcularlo? Gracias

Answer 1

$$\lim_{n \rightarrow \infty} Π_{k=1}^n \cos\bigg(\frac{\pi}{k^2}\bigg)$$

$$=re\big(Π_{k=1}^ne^{\frac{iπ}{k^2}}\big)$$

$$=re\big(e^{iπ\big(1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+...\big)}\big)$$

$$=re\big(e^{iπ\frac{π^2}{6}}\big)$$

$$=re\big(e^{\frac{iπ^3}{6}}\big)$$

$$=\cos\bigg(\frac{π^3}{6}\bigg)$$

$$=0.439753$$