Uniformemente continua mapas entre los grupos topológicos

Question

Deje $G$ ser un grupo topológico. Para cada vecindad $U$ de la identidad, vamos a $L_U$ ser el conjunto de todos los pares de $(x,y) \in G \times G$ tal que $x^{-1} y \in U$.

Para grupos topológicos $G$$H$, un mapa de $f \colon G \to H$ se llama izquierda uniformemente continua si para cada abierto de vecindad $V$ de la identidad en $H$ existe un abierto de vecindad $U$ de la identidad en $G$ tal que $(f(x),f(y)) \in L_V$ todos los $(x,y) \in L_U$.

Es el mapa $G \times G \to G$, $(x,y) \mapsto x^{-1}y$ a la izquierda uniformemente continua? Que es para cualquier abierto de vecindad $W$ de la identidad no existe barrios $U,V$ de la identidad tal que $(x_1^{-1}x_2, y_1^{-1}y_2) \in L_W$ siempre $(x_1,x_2,y_1,y_2) \in L_{U \times V}$.

Si no, hay un buen ejemplo para mostrar que esto no es cierto?

Answer 1

El mapa no es generalmente la izquierda uniformemente continua. Voy a comenzar con algunas observaciones, demostrar la existencia de un grupo donde el mapa no es de izquierda uniformemente continua.

Tenga en cuenta que $((x_1, y_1), (x_2, y_2)) \in L_{V \times W}$ si y sólo si $x_1^{-1} x_2 \in V$ $y_1^{-1} y_2\in W.$ necesitamos utilizar estas condiciones para forzar $(x_1^{-1}y_1, x_2^{-1}y_2) \in L_U,$ que es equivalente a $\phi((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = y_1^{-1}x_1 x_2^{-1} y_2 \in U.$ Ahora, un elemento general de la $L_V$ es de la forma $(x, xv)$ donde $v\in V$ $x$ es cualquier elemento de $G$, y de manera similar a $(y, yw)$ es un elemento general de la $L_W$. Además $\phi((x, y), (xv, yw)) = y^{-1} x v^{-1} x^{-1} y w$, por lo que $$\phi(L_{V\times W}) = \bigcup_{x\in G} x V^{-1} x^{-1} W \text{ and } \bigcup_{x\in G} x V^{-1} x^{-1} \subseteq \phi(L_{V\times W}),$$ and therefore we need to find some open neighborhood of the identity, $V$, tal que todos sus conjugados están contenidos en una arbitraria conjunto abierto. En general, esto no es posible, lo que se demuestra por mirar a un particular (no compacta) del grupo.

Deje $G$ el grupo de isometrías de $\mathbb{R}^2$ con la métrica Euclidiana, por lo $G$ es el grupo generado por la rígida rotaciones y traslaciones en el plano (y no nos han reflexiones, aunque esto no hace ninguna diferencia real, sus separado conectado componente del grupo). Afirmo que para abrir todos los barrios de la identidad de $V$, y todos los números reales positivos, $l$, hay algunas traducciones $t\in G$ $v\in V$ tal que $d(t v t^{-1} (\vec{0}), \vec{0}) = l$. Para ver esto, observe que $V$ contiene algunos de rotación, $v$, que corrige $\vec{0}$ y rota el plano por $\epsilon >0.$ $t(a, b) = \left( a + \frac{l}{2\sin(\epsilon/2)}, b \right)$ es requerido. De hecho, para cada punto en el plano, hay un elemento de $\{ tvt^{-1}: t \text{ is a translation}\}$ que se asigna el origen de ese punto.

Por lo tanto, si dejamos $U$ el conjunto de isometrías que mover el origen estrictamente menor que $1$, no importa en qué barrios, $V$$W$, de la identidad que elegir, $\phi(L_{V\times W}) \not\subseteq U.$

Creo que es todo correcto, ahora. Este pdf fue muy útil para mí conseguir en el camino correcto, especialmente lema 4.2.