Es compacto una forma más fuerte de la continuidad?

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert. Decimos que un operador lineal $T \colon H \to H$ es compacto si los mapas delimitada conjuntos de precompact, es decir, si para cada delimitada secuencia $(a_n)$ en $H$, $(Ta_n)$ tiene un convergentes larga. Podemos caracterizar a la compacidad en términos de la debilidad de la convergencia: $T$ es compacto si y sólo si los mapas débilmente convergente secuencias en la norma convergente.

Hasta ahora tendría casualmente dijo:

$T$ es compacto iff $T$ es continua cuando su dominio está equipado con débil topología y su gama con la norma topología.

y yo no habría sido el único que he escuchado de más de uno de mis profesores. Bien, este resulta ser falsa, como he leído en el Problema de la VI.34 de Reed & Simon Métodos de la moderna física matemática:

Demostrar que en un espacio de Hilbert $H$, un mapa de $T \colon H \to H$ es continua cuando su dominio se le da la topología débil y su alcance a la norma de la topología de la si y sólo si $T$ ha finito rango!

(el signo de exclamación es parte del texto original).

En el momento en que este problema está más allá de mi alcance, ya sé casi nada de la necesaria topológico de herramientas (que es - redes, Moore-Smith convergencia, y similares). Pero estoy curioso acerca de esto y quería compartir mi curiosidad con la comunidad.

Ha alguien tiene alguna idea acerca de cómo probar esto, o incluso alguna sugerencia que me pueda ayudar a atrapar a este intuitivamente?

Answer 1

En primer lugar usted necesita para entender que una base de la topología débil consta de los conjuntos de $$ V_{\epsilon, y_1, ..., y_n} = \{x \in H: |(x, y_i)| \lt \epsilon \} $$ para cualquier $\epsilon \gt 0$ y un conjunto finito de vectores $y_i$. Para ser más precisos: Estos conjuntos forman un barrio de base cero, que es lo que vamos a necesitar para la prueba.

Ahora, si una transformación lineal $$ T: H_{débil} \a H_{norm} $$ es continua, entonces la inversa de la imagen de la apertura de la unidad de pelota en $H_{norm}$ tiene que contener un básico débil vecindario $V_{\epsilon, y_1, ..., y_n}$. Si H es infinito dimensional, podemos encontrar una $x$ tal que $(x, y_i) = 0$$i = 1,..., n$. Esto implica que $k x \in V$ cualquier $k$, por lo que el $T x = 0$ para sostener las necesidades (lo que implica que el operador de la norma de $T$ tiene que ser cero).

Podemos suponer que el $y_i$ son ortonormales (por qué?). Dado cualquier $x \in H$, podemos escribir $$ z = x - \sum_{i = 1}^{n} (x, y_i) \; y_i $$ Ahora sabemos que $A z = 0$ por la construcción, lo que significa que nosotros conocemos $T x$ cualquier $x$, es $$ T x = \sum_{i = 1}^{n} (x, y_i) \; y_i $$ Muchas gracias por su pregunta concreta.

De infinitas dimensiones normativa espacios son fundamentalmente diferentes de finito normativa espacios, por ejemplo:

• La unidad de la bola es compacto si el espacio es finito dimensionales.

Por lo tanto, el pacto de los operadores, son de interés debido a que retienen algunas propiedades de las finito dimensionales caso en infinte dimensiones, como es el débil operador de la topología, que los hace interesantes.

BTW: yo creo que sus profesores fueron a hablar sobre el hecho de que compacta los operadores son aquellos que son continuos desde la débil unidad de la bola de $H_{weak}$$H_{norm}$. La restricción a la unidad de la bola es esencial, y buscando en la prueba anterior se puede ver que paso no funciona ya que si añadimos eliminar esta restricción.

Answer 2

Hay la siguiente caracterización de la compacidad:

Un operador $T: H \to H$ es compacto si y sólo si $T|_{B} : B \to H$ es continuo, donde $B$ es la bola unidad cerrada de $H$ equipado con la topología débil y $H$ está equipada con su habitual y la topología de la norma.

Usted puede encontrar una prueba de este hecho, por ejemplo, en Pedersen del Análisis Ahora como parte del Teorema 3.3.3. Sin embargo, este resultado se basa en gran medida en la red técnicas, pero usted podría tomar la oportunidad de aprender acerca de que en el Capítulo 1 de este libro.

Para ver que la continuidad implica la compacidad en su sentido, basta con observar que la continuidad implica que el $T(B)$ es compacto, y como $T(B)$ es metrizable, cada secuencia en $B$ tiene una larga cuya imagen bajo $T$ converge. La otra dirección es un poco más complicado, pero realmente no es difícil.

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Ahora supongamos que $T: H \to H$ es débil-norma continua. A continuación, el seminorm en $H$ $x \mapsto \|Tx\|$ es continuo, como un mapa de $(H, \text{weak}) \to \mathbb{R}$, por lo que por un resultado estándar localmente convexo espacios y la definición de la topología débil (véase también el de Tim respuesta a su pregunta), hay puntos de $x_{1},\ldots,x_{n} \in H$ tal que $\|Tx\| \leq \max{\{|\langle x,x_{i}\rangle|\,:\,i = 1,\ldots,n\}}$ todos los $x \in H$. Pero esto significa que $T$ debe desaparecer en el complemento ortogonal del espacio de $x_1, \ldots, x_n$, así que sin duda $T$ tiene rango finito.