¿La derivada de la función de onda en el infinito debe ser cero?

Question

Me encontré con un problema en Griffiths donde la derivada de la función de onda (con respecto a la posición en una dimensión) evaluada en $\pm\infty$ es cero. ¿Por qué es así? ¿Es cierto para cualquier función que se evalúa a cero en $\pm\infty$ ¿o hay alguna restricción especial en la función de onda que estoy olvidando?

Answer 1

No necesariamente. Considere esta función como ejemplo:

$$\psi(x) = \frac{C\sin x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Esta función es integrable al cuadrado y asimila a cero como $x\to\pm\infty$ pero su derivada va a $2\cos x^2$ en el mismo límite.

En la mecánica cuántica, a menudo asumimos que los sistemas reales están representados por funciones de onda que no tienen características interesantes una vez que te alejas lo suficiente del origen. En la práctica, esto significa que la función y todas sus derivadas tienen "soporte compacto":"

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\partial^n\psi}{\partial x^n} = 0\ \forall\ n\in\mathbb{Z}_{0,+}$$

Esta afirmación matemática corresponde a la suposición física de que se puede ignorar cualquier cosa que ocurra lo suficientemente lejos de su experimento.

Sin embargo, hay situaciones en las que es útil dejar de lado esta suposición. Por ejemplo, si se analiza una red cristalina, facilita los cálculos si se asume que la red se extiende infinitamente en todas las direcciones, y en ese caso se utilizaría una función de onda que es periódica hasta el infinito. Por supuesto, esas funciones de onda suelen tener valores distintos de cero, además de derivadas distintas de cero a grandes $|x|$ . No conozco de antemano un ejemplo que utilice una función de onda que asimile a cero pero cuyas derivadas no lo hagan, aunque no me sorprendería en absoluto conocer uno.