Es fácil probar: en un número finito de semigroup si para todas las $a$ y $b$, $ax=b$ y $ya=b$ tiene solución única. a continuación, es el grupo. Pero si en un número finito de semigroup, si para todas las $a$ y $b$, $ax=b$ y $ya=b$ tiene solución(no necesariamente único) sería un grupo?
Respuesta
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J.-E. Pin
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La respuesta es sí y se basa en las propiedades de Green relaciones y Verde del teorema, el cual establece que si $H$ $\mathcal{H}$- clase de un semigroup $S$, entonces cualquiera de las $H^2 \cap H = \emptyset$ o $H$ es un subgrupo de $S$. En particular, el $\mathcal{H}$-clase de un idempotente es un subgrupo de S.
Deje $S$ ser finito no vacío semigroup. A continuación, $S$ contiene un idempotente $e$. Ahora, para todos los $a \in S$, existe un par $(x,y) \in S^2$ tal que $ax = e$ $ya = e$ y otro par $(s,t) \in S^2$ tal que $es = a$$te = a$. Esto implica que, para todos los $a \in S$, $e \mathrel{\mathcal{R}} a$ y $e \mathrel{\mathcal{L}} a$, de donde $e \mathrel{\mathcal{H}} a$. Por lo tanto, $S$ es igual a la $\mathcal{H}$-clase de $e$, que es un grupo, como cualquier $\mathcal{H}$-de la clase que contiene un idempotente.
