Si $(|G|, |H|) > 1$, no se sigue que la $\operatorname{Aut}(G \times H) \neq \operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$?

Question

Deje $G$ $H$ ser grupos finitos. Si $|G|$ $|H|$ son coprime, entonces

$$\operatorname{Aut}(G \times H) \cong \operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$$

sostiene. ¿Qué pasa cuando se $(|G|, |H|) > 1$? En este caso sabemos que $\operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$ está contenido en $\operatorname{Aut}(G \times H)$, pero el isomorfismo de arriba puede que no se mantenga. Por ejemplo, $\operatorname{Aut}(C_2 \times C_2)$ orden $6$ pero $\operatorname{Aut}(C_2) \times \operatorname{Aut}(C_2)$ es trivial.

Es el isomorfismo posible en todos los al $(|G|, |H|) > 1$?

Answer 1

No, su condición no es suficiente.

Por ejemplo, tomar dos distintas finito nonabelian simple grupos $G$ $H$ de manera tal que ninguno de los dos es un subgrupo de los otros (pares de existir; la condición es en realidad más fuerte de lo que debe ser, como lo demuestra el teorema citado en el final; sólo se necesita $G$ $H$ a ser distintas). Por la extraña orden teorema, tanto en $|G|$ $|H|$ son uniformes, por lo $\gcd(|G|,|H|)\neq 1$.

Deje $\iota_G$ $\iota_H$ ser el inclusiones en el producto, y $\pi_G$, $\pi_H$ las proyecciones. Deje $f\colon G\times H \to G\times H$ ser un automorphism.

A continuación, $\pi_H\circ f\circ\iota_G \colon G\to H$ es un homomorphism. Desde $H$ no contiene un subgrupo isomorfo a $G$ $G$ es simple, la composición debe ser el trivial mapa. Por lo tanto, $f(g,e)\in G\times\{e\}$ todos los $g\in G$. Simétricamente, mirando a $\pi_G\circ f\circ \iota_H$, llegamos a la conclusión de que $f(e,h)\in \{e\}\times H$ todos los $h\in H$. Por lo tanto, $f|_{G\times\{e\}} = \alpha\in \mathrm{Aut}(G)$, e $f|_{\{e\}\times H} = \beta\in \mathrm{Aut}(H)$. Así que cada automorphism de $G\times H$ corresponde a un elemento de $\mathrm{Aut}(G)\times\mathrm{Aut}(H)$, y, por supuesto, las restricciones completamente determinar $f$.

Puede que desee considerar la posibilidad de:

Bidwell, J. N. S., Curran, M. J., y McCaughan, D. Automorfismos de productos directos de grupos finitos, Arch. De matemáticas. (Basilea) 86 (2006) no. 6, 481-489

Bidwell, J. N. S. Automorfismos de productos directos de grupos finitos II. Arch. De matemáticas. (Basilea) 91 (2008) no. 2, 111-121.

Un ejemplo de un teorema de la primera es:

Teorema. Deje $G=H\times K$ donde $H$ $K$ no tienen en común factor directo. A continuación,$\mathrm{Aut}(G)\cong \mathcal{A}$, donde $$\mathcal{A} = \left.\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{array}\right)\;\right|\; \alpha\in\mathrm{Aut}(H), \delta\in\mathrm{Aut}(K), \beta\in\mathrm{Hom}(K,Z(H)), \gamma\in\mathrm{Hom}(H,Z(K))\right\}.$$ En particular, $$|\mathrm{Aut}(G)| = |\mathrm{Aut}(H)||\mathrm{Aut}(K)||\mathrm{Hom}(H,Z(K))||\mathrm{Hom}(K,Z(H))|.$$

Answer 2

Se desprende de la teoría de la estructura de automorfismos de productos directos de grupos finitos que

$$|{\rm Aut}(G\times H)|=|{\rm Aut}(G)|\,|{\rm Aut}(H)|\,|\hom(G,Z(H))|\,|\hom(H,Z(G))|.$$

al $G$ $H$ no tienen en común factor directo. En particular, $(G,Z(H))=1=(Z(G),H)$ (junto con el directo del factor de condición) es suficiente para ${\rm Aut}(G\times H)\cong {\rm Aut}(G)\times{\rm Aut}(H)$.

Answer 3

Vamos $g\in \operatorname{Aut}(G)$, $h\in \operatorname{Aut}(H)$, $f\in \operatorname{Hom}(G,H)$. A continuación, tenemos una automorphism $(x,y)\to (gx\cdot fy, hy)$. Por lo tanto, si $\operatorname{Hom}(G,H)\ne 1$$\operatorname{Aut}(G \times H) \ne\operatorname{Aut}(G) \times \operatorname{Aut}(H)$.

Answer 4

No, no siga.

Deje $G,H$ dos finito no-cíclico simple grupos con $|G|,|H|$ tanto incluso (esto siempre), pero no múltiplo de uno a otro (por ejemplo, uno puede tomar $|G|=60$$|H|=168$). Claramente $2\mid\gcd(|G|,|H|)$, pero los subgrupos $G,H$ del grupo de producto $G\times H$ son característicos de los subgrupos (estable bajo todas automorphims), de modo que cada automorphism de $G\times H$ proviene de los automorfismos induce en los factores de $G,H$ por separado. Para ver que el factor de subgrupos son característicos, es suficiente con considerar la imagen de un factor, decir $G$, por un automorphism, y luego se proyectan para el otro factor, $H$. El resultado es un subgrupo de$~H$ isomorfo a un cociente de$~G$. Pero $H$ no tiene ningún subgrupo isomorfo a todos los de $G$ (en cuenta los pedidos), y la única otra cociente de $G$ es la trivial grupo (por la sencillez de$~G$), de modo que es lo que el resultado es. Esto significa que $G$ era estable bajo la automorphism. Lo mismo ocurre con $G$ $H$ intercambiados.