Calculando la distancia más corta posible entre puntos

Question

Pregunta:

Dados los puntos $A(3,3)$, $B(0,1)$ y $C(x,0)$ donde $0 < x < 3$, $AC$ es la distancia entre $A$ y $C$ y $BC$ es la distancia entre $B$ y $C$. ¿Cuál es el valor de x para que la distancia $AC + BC$ sea mínima?

¿Qué he hecho? He definido la función $AC + BC$ como:

$\mathrm{f}\left( x\right) =\sqrt{{1}^{2}+{x}^{2}}+\sqrt{{3}^{2}+{\left( 3-x\right) }^{2}}$

Y la primera derivada:

$\mathrm{f'}\left( x\right) =\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}+\frac{3-x}{\sqrt{{x}^{2}-6\,x+18}}$

Necesitamos encontrar los valores para $\mathrm{f'}\left( x\right) = 0$, así que al sumar y multiplicar ambos lados llegué a la ecuación:

$2x^4 - 12x^3 + 19x^2 -6x+18 = 0$

Pero no creo que el propósito sea resolver una ecuación de 4to grado, debe de haber otra manera que estoy pasando por alto...

Answer 1

Utilice una analogía física. Considere $ACB$ como el camino de la luz que viaja de $A$ a $B$ con reflexión en el punto $C$. Como todos sabemos, la luz viaja a lo largo del camino más corto, y el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Por lo tanto, debes elegir el punto $C$ de manera que el ángulo entre el eje $x$ y $AC$ sea igual al ángulo entre el eje $x$ y $CB$

Dado que los ángulos $ACO$ y $BCD$ son iguales, podemos decir que sus tangentes son iguales. Por lo tanto, $$ \frac{1}{x}=\frac{3}{3-x} $$ y obtenemos $x=3/4$

Answer 2

Sea $B'=(0,-1)$. ¿Ves que $AC+BC=AC+B'C$? ¿Ves dónde colocar $C$ para minimizar $AC+B'C$?

Answer 3

Norbert y Ross Millikan ya han sugerido una solución astuta, y Gerry Myerson una solución aún más astuta, pero puedes hacerlo puramente algebraicamente: te metiste en problemas porque tu derivada no está del todo bien. Debería ser

$$f\,'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{3-x}{\sqrt{18-6x+x^2}}\;,$$

con el segundo término negativo debido a la regla de la cadena aplicada a $3-x$. Estableciéndolo en $0$ y haciendo un poco de álgebra, obtenemos

$$\begin{align*} x\sqrt{18-6x+x^2}&=(3-x)\sqrt{1+x^2}\;,\\ 18x^2-6x^3+x^4&=(3-x)^2(1+x^2)\;,\\ 18x^2-6x^3+x^4&=9-6x+10x^2-6x^3+x^4\;,\\ 18x^2&=9-6x+10x^2\;,\\ 8x^2+6x-9&=0\;,\text{ y}\\ (4x-3)(2x+3)&=0\;. \end{align*}$$

La solución deseada es claramente $x=\dfrac34$.

Answer 4

El siguiente pequeño truco (¿método?) es útil en muchos lugares. Deja que $y=3-x$. Queremos minimizar $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{3^2+y^2}$, donde $x+y=3.

Derivamos con respecto a $x$. Usando el hecho de que $\frac{dy}{dx}=-1$, llegamos a la ecuación $$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{y}{\sqrt{9+y^2}}.$$ Nota que esto es (aparte de un pequeño problema de signo negativo) la ecuación a la que llegaste, con $3-x$ reemplazado por $y$. Eleva ambos lados al cuadrado, multiplica en cruz. Obtenemos $$x^2(9+y^2)=y^2(1+x^2),$$ que se simplifica a $9x^2=y^2$.

¡No hay ecuación de cuarto grado aquí! Dado que $x$ e $y$ son no negativos, obtenemos $y=3x$, una ecuación lineal. Ahora, a partir de $x+y=3$, obtenemos $x=3/4$.

Answer 5

Pista: puedes mirar en Wikipedia sobre el ángulo de reflexión