Demostrando que $\lim_{n \rightarrow\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t^n) dt =0$

Question

Está claro que $\lim_{n \rightarrow\infty} \int_{0}^{1} \sin(t^n) dt =0$ . ( que no es lo que se quiere demostrar aquí )

No sé cómo proceder con la parte restante de la integral es decir $\lim_{n \rightarrow\infty} \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t^n) dt$ (He probado la sustitución y la integración parcial).

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Sustituyendo $u = t^n$ obtenemos

$$\int_1^{\pi/2} \sin (t^n)\,dt = \frac{1}{n}\int_1^{(\pi/2)^n} \frac{\sin u}{u^{1-1/n}}\,du.\tag{1}$$

La integración por partes nos lleva entonces a (con $c_n = \left(\frac{\pi}{2}\right)^n$ )

$$\begin{align} \left\lvert\int_1^{c_n} \frac{\sin u}{u^{1-1/n}}\,du\right\rvert &= \left\lvert\frac{-\cos u}{u^{1-1/n}}\Biggl\lvert_1^{c_n} - \left(1-\frac{1}{n}\right)\int_1^{c_n}\frac{\cos u}{u^{2-1/n}}\,du\right\rvert\\ &= \left\lvert\cos 1 - \frac{\cos c_n}{c_n^{1-1/n}} - \left(1-\frac{1}{n}\right)\int_1^{c_n}\frac{\cos u}{u^{2-1/n}}\,du\right\rvert\\ &\leqslant 2 + \int_1^{\infty} \frac{du}{u^{2-1/n}}\\ &\leqslant 4, \end{align}$$

para $n \geqslant 2$ .

Utilice el factor $\frac{1}{n}$ de $(1)$ y el resultado para el $\int_0^1$ parte para concluir.

Answer 2

Comienza haciendo esta sustitución $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin(t^n) dt = {1\over n}\int_0^{(\pi/2)^n} { \sin(t)\over t^{1 - 1/n}} dt.$$ Las integrales que vemos oscilan y si se deja que el límite superior vaya a $\infty$ son condicionalmente convergentes. Si pueden ser uniformemente acotados, se tiene esto, ya que tenemos la $1/n$ factor. No estoy seguro de cómo acotar las integrales, pero esto parece una ruta viable para resolver el problema.

Answer 3

Bonito problema. Lo que yo intentaría:

Elige l, m, r de modo que t^n = (2k)pi, (2k+1)pi, (2k+2)pi cuando t = l, m, r; k >= 1. En lugar de integrar el seno (t^n) de l a r, integra el seno (t^n) de l a m, y luego utiliza una sustitución para que integres el factor de escala (t) * seno (t^n + pi) de l a m en lugar del seno (t^n) de m a r. La integral de l a r es la integral de (1 - factor de escala (t)) * sin (t^n). Demuestra que el factor de escala es muy cercano a 1, por lo que la integral total es pequeña. Suma para todas las integrales, demuestra que sigue siendo pequeña y converge a 0 a medida que n -> infinito.

La integral de 0 a (2pi)^(1/n) también va -> 0.