Deje $f$ ser una analítica de la función de tal forma que si $|z|=\frac{1}{2}$$f(z)\in \mathbb{R}$. Demostrar que $f$ es constante.

Question

Deje $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C}$ ser una analítica de la función de tal forma que si $|z|=\frac{1}{2}$$f(z)\in \mathbb{R}$. Demostrar que $f$ es constante. ($\mathbb{D}$ es la unidad de disco)

Todas las sugerencias son apreciados

Answer 1

Sugerencia

$f(z)=u(z)+iv(z)$ (decir)

Definir $g(z)=e^{i f(z)},h(z)=e^{-i f(z)}$ y aplicar el Máximo de Modulas Principio.

Entonces, ¿qué puedes decir acerca de $v(z)$ sobre el disco de $\{z:|z|\le {1\over 2}\}$?