Encontrar todos los $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ donde $f(f(x))=f'(x)f(x)+c$

Question

Recientemente, mientras que el estudio del cálculo, de la que me han llegado a través de múltiples problemas que se le preguntó lo siguiente: Si $f(x)$ es un polinomio, encontrar todos los $f(x)$ que $f(f(x))=f'(x)f(x)+c$ donde $c$ es una constante.

Este problema puede resolverse así:

Si $deg(f(x))=n$, la parte superior de la ecuación implica que $n^2=2n-1$, o que $n=1$.

Esto implica que $f(x)=ax+b$, y es sólo una cuestión de cálculo a partir de aquí.

Pero, ¿cómo encontrar todos los $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ donde $f(f(x))=f'(x)f(x)+c$? Estoy pidiendo soluciones whe $f(x)$ es no necesariamente un polinomio.

Porque de mi método anterior, pensé que $f'(x)$ sería una constante.

Sin embargo, yo no era capaz de probar esto. La diferenciación de ambos lados me dio ese $(f'(f(x))-f'(x))(f'(x))=f''(x)f(x)$. Esto resultó no ayuda en absoluto.

Desde que soy joven, por favor, utilice los métodos que son comprensibles para un estudiante de secundaria.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Hay una solución con $f(x)=ax+bx^2+cx^3+dx^4+...$. Aquí, estoy tomando su $c=0$, pero la introducción de mi $c$ como uno de los coeficientes.
$$f(f(x))=af(x)+bf(x)^2+cf(x)^3+...\\ =^2x+abx^2+acx^3+...+ba^2x^2+2ab^2x^3+...+ca^3x^3+...\\ f'(x)f(x)=(a+2bx+3cx^2+...)(ax+bx^2+cx^3+...)\\ =^2x+3abx^2+(4ac+2b^2)x^3+... $$ Igualar los coeficientes de $$ a^2=a^2\\ab+ba^2=3ab\to a=2\\ac+2ab^2+ca^3=4ac+2b^2\to c=-b^2$$ por lo que parece el primer par de términos debe ser $f(x)=2x+bx^2-b^2x^3+...$
EDIT: he hecho Arce encontrar esta solución, cuando su $c=0$: $$\color{red}{f(x)=\frac2b(1+2bx-\sqrt{1+2bx})}$$ Al $x=2y$, los coeficientes de la serie anterior se $1,1,-2,5,-14,42$. Esta secuencia es bastante famosa, o podría haber buscado en la OEIS (Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros). A continuación, he usado la fórmula, que consiste en $\frac1{n+1}{2n\choose n}$, en la secuencia, y el Arce trabajado el infinito suma.
Para comprobar eso, vamos a $y=\sqrt{1+2bx}$, y supongamos $y>1/2$. A continuación, $$f(x)=\frac2b(y^2-y)\\ 1+2bf(x)=4y^2-4y+1=(2y-1)^2\\f(f(x))=\frac2b(4y^2-4y+1-(2y-1))$$
Por otro lado, $f'(x)=4-\frac{2}{\sqrt{1+2bx}}=4-\frac2y$, por lo que $$f(x)f'(x)=\frac2b(y^2-y)(4-\frac2y)=\frac2b(y-1)(4y-2)=\frac2b(4y^2-6y+2)=f(f(x))$$