Problema del límite de la función potencia

Question

Tengo un problema:

Encuentre

$$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)^{\dfrac{\sin x}{x}}$$

Este es mi argumento:

$$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)^{\dfrac{\sin x}{x}}= \lim_{x\rightarrow 0}e^{\ln\left(\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)\dfrac{\sin x}{x}}$$

Por otro lado,

$$\lim_{x\rightarrow 0}\text{ln}\left(\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)=\ln\left(\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)=\text{ln}\dfrac{3}{2}$$

y

$$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$

por lo tanto

$$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)^{\dfrac{\sin x}{x}}=e^{\ln\frac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}$$

¿Me equivoco? Si me equivoco, por favor muéstrame cómo hacer este problema.

Gracias.

Answer 1

Mira por aquí.

Desde $\lim_{x\to 0}\frac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}=\frac{3}{2}$ y $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ entonces tenemos $$\lim_{x\to 0}\left(\frac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)^\frac{sin x}{x}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{x^2-2x+3}{x^2-3x+2}\right)^{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{(1)}=\frac{3}{2}.$$