Hay una coherente gavilla que no es un cociente de localmente libre gavilla?

Question

Supongamos $X$ es una variedad algebraica, hay una coherente gavilla $\mathcal{F}$ $X$ que no es un cociente de localmente libre gavilla？

(Hartshorne II Cor 5.18 mostró que en cada variedad proyectiva, coherente poleas están cociente de localmente libre de gavillas de rango finito, por extensión coherente de las poleas, lo mismo vale para casi variedades proyectivas.)

Answer 1

Hay liso de los esquemas que no tienen esta propiedad, que generalmente se llama resolución de la propiedad. Un ejemplo sencillo es $X=\mathbb{A}^n \cup_{\mathbb{A}^n \setminus \{0\}} \mathbb{A}^n$, el afín $n$-espacio con un doble origen, y $n \geq 2$. Un local libre de gavilla en $X$ tira de nuevo a dos localmente libre de poleas en $\mathbb{A}^n$ que se convierten en isomorfo al restringido a $\mathbb{A}^n \setminus \{0\}$. Ya que cada localmente libre de gavilla en $\mathbb{A}^n$ es gratis (Quillen-Suslin Teorema), el isomorfismo corresponde a una matriz invertible de global secciones de $\mathbb{A}^n \setminus \{0\}$, que por Hartog del Lexema, coincidiendo con el mundial de secciones de $\mathbb{A}^n$ (aquí utilizamos $n \geq 2$). Por lo tanto, el isomorfismo de las dos poleas se extiende en $\mathbb{A}^n$, lo que significa que la original localmente libre de gavilla en $X$ es gratis. De ello se desprende que no todo coherente gavilla en $X$ es un cociente de un local libre de decir, libre de la gavilla, porque de lo contrario $\mathcal{O}_X$ sería suficiente y, por tanto, $X$ estarían separados.

Por otro lado, muchos de los esquemas de la (fuerte) de la resolución de la propiedad, por ejemplo divisorial de los programas (M. Borelli, Divisorial variedades) - incluyendo esquemas proyectivos y cualquier separados noetherian localmente esquema factorial (SGA 6, Exp. II, Proposición 2.2.7), así como cualquier separados algebraico de la superficie (P. Bruto. La resolución de la propiedad de superficies algebraicas). Para más resultados, véase (P. Bruto, Vector de paquetes como los generadores en los esquemas y las pilas. Tesis de doctorado) y (B. Totaro, La resolución de los bienes a los regímenes de pensiones y pilas). Para algebraica de las pilas, no es un criterio útil que depende de una presentación (D. Schäppi, Una caracterización de las categorías de coherente gavillas de ciertos algebraica de las pilas).

Esto parece ser un problema si hay una variedad (separados esquema de finito tipo) que no tiene la resolución de la propiedad.