Mostrar que $\lim_{n\to\infty}(6n)^{\frac16}a_n=1$ $(a_n)$ tal que $\lim_{n\to\infty}a_n\sum_{j=1}^na_j^5=1$

Question

Mostrar que $$ \lim_{n\to\infty}(6n)^{\frac16}a_n=1, $$ where $(a_n)$ is a sequence of nonnegative real numbers such that $\lim_{n\to\infty}a_n\sum_{j=1}^na_j^5=1.$

Recientemente he quedado prendado de este problema. Me parece que no puede hacer una aproximación debido a que esta es la primera vez que he visto este tipo de problema.

Answer 1

La Prueba Deje $s_n = \sum_{k=1}^na_k^5$. Sabemos que $$a_ns_n \to 1\text{ as }n\to\infty.$$ We want to show $$(6n)^{1/6}a_n\to 1\text{ as }n\to\infty.$$ It is enough to show $$\frac{s_n}{(6n)^{1/6}}\to 1 \text{ or equivalently }\frac{s_n^6}{n}\to 6\text{ as }n\to\infty.$$

Stolz–Cesàro teorema de los estados:

Deje $a_n$ $b_n$ ser de dos secuencias, con $b_n$ ilimitados y en aumento. A continuación,

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$$

si el segundo límite existe.

Por lo tanto, es suficiente para mostrar $$s_n^6-s_{n-1}^6\to 6 \text{ as }n\to\infty.$$ Note that $$s_n^6-s_{n-1}^6 = s_n^6 - (s_n-a_n^5)^6 = 6a_n^5s_n^5 - 15a_n^{10}s_n^4 + 20a_n^{15}s_n^3 -15a_n^{20}s_n^2 + 6a_n^{25}s_n-a_n^{30}.$$ Como $s_n$ es un no-disminución de la secuencia, si la secuencia es acotado, entonces $\lim s_n= s$, y por lo $0 = \lim s_{n}-s_{n-1}=\lim a_n^5 = 1/s^5$, lo cual es imposible. Por lo tanto, $s_n$ es ilimitado y por lo $a_n^i s_n^j\to 0$ si $i > j$. Por lo tanto,$s_n^6 - s_{n-1}^6 \to 6$.