La suma de estos cociente no puede ser entero

Question

Supongamos $a$ $b$ son enteros positivos tales que son relativamente primos (es decir, $\gcd(a,b)=1$).
Demostrar que, para todos los $n\in \mathbb{N}$, la suma
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+2b}+\cdots+\frac{1}{a+nb} $$

no es un entero.
Creo que he intentado de muchas maneras, yo podría, pero ninguno me llevó a la respuesta completa. ¿Tiene usted alguna idea?

Answer 1

Respuesta parcial:

Si $b$ es impar, entonces el problema es fácil: elige $k$ máximo para que $2^k$ divide algunos $a+jb$$1 \leq j \leq n$. Tal $j$ deben existe, ya que las $n \geq 2$ (en el caso de $n=1$ es trivial, y false cuando se $a=n=1$) y al menos uno de $a, a+b$ debe ser par.

Ahora, si $2^k$ divide dos de los términos, es fácil encontrar entre un término divisible por $2^{k+1}$, lo que contradice la maximality de $k$.

Por lo tanto, $2^k$ divide exactamente uno de los términos. La conclusión se deduce inmediatamente de traer las otras fracciones con el mismo denominador, y observar que el denominador es divisible entre en la mayoría de las $2^{k-1}$.

Answer 2

Una buena manera de demostrar que puede ser encontrar un entero K tal que, multiplicando la suma de K, el resultado no es un número entero. La búsqueda de este K claramente implica que la suma no es un número entero.

Por ejemplo, podríamos elegir como K un valor obtenidas a partir del producto $a(a+b)(a+2b)(a+3b)...(a+nb)$ y la eliminación de un factor (o factores) en la secuencia. Multiplicando la suma total por este K, todos los elementos de la suma excepto uno (excepto los correspondientes a los eliminados términos) se convierten en enteros. Mostrando que el producto de los restantes término o términos con K no es un número entero constituiría la prueba.