Demostrar que un holonomic (p-recursivo) diferencia ecuación sólo devuelve los valores integrales

Question

Considere la posibilidad de la recurrencia dada por

$(n+1)^2 a_{n+1} = (9n^2+9n+3)a_n-27n^2 a_{n-1}$

$a_0 = 1, a_1 = 3$.

Claramente, $a_n$ es racional, pero inesperadamente, la recurrencia parece salida sólo valores integrales. Se puede demostrar que esto es realmente así? Para más términos, véase A006077 en la OEIS.

Answer 1

Esto se parece mucho a Apery de repetición de $$(n+1)^2a_{n+1}=(11n^2+11n+3)a_n+n^2a_{n-1}$$ Muchos artículos se han escrito acerca de las generalizaciones de Apery de repetición. No sé si alguno de ellos han estudiado el particular, la recurrencia de esta pregunta, pero podría ser vale la pena echar un vistazo a

Frits Beukers, En la Obra de accesorios de parámetro problema de Matemáticas. Z. 241 (2002), no. 2, 425-444, MR1935494 (2003i:12013)

y

Don Zagier, soluciones Integrales de Apéry-como ecuaciones en recurrencia, los Grupos y las simetrías, 349-366, CRM Proc. Notas De La Conferencia, 47, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 2009, MR2500571 (2010h:11069).

EDIT: Beukers' documento está disponible en línea, escribe que Zagier hizo un equipo de búsqueda para las ecuaciones de este tipo de regresar solamente integral de valores, se presenta una tabla de lo que Zagier encontrado, y la ecuación actual está en la mesa. No puedo encontrar la Zagier de papel en línea, pero supongo que tendrá las pruebas detalladas de integralidad.