La regresión en la unidad de disco a partir de "espaciadas de manera uniforme" muestras

Question

Necesito resolver un complicado problema de regresión sobre la unidad de disco. La pregunta original , atrajo a algunos comentarios interesantes, pero no hay respuestas, lamentablemente. En tanto, aprendí algo más sobre este problema, por lo tanto voy a tratar de dividir el problema original en subproblemas, y a ver si tengo mejor suerte esta vez.

Tengo 40 sensores de temperatura regularmente espaciados en un estrecho anillo dentro de la unidad de disco:

Estos sensores adquirir la temperatura en el tiempo. Sin embargo, debido a que la variación es mucho menor que el espacio de variación, vamos a simplificar el problema al ignorar la variabilidad tiempo, y se supone que cada sensor sólo me da un tiempo promedio. Esto significa que tengo 40 muestras (uno para cada sensor) y no tengo en muestras repetidas.

Me gustaría construir una regresión de la superficie de $T=f(\rho,\theta)+\epsilon$ a partir de los datos de los sensores. La regresión tiene dos objetivos:

1. Necesito para estimar una media radial perfil de temperatura $T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$. Con la regresión lineal, ya me estimación de una superficie que es la temperatura media de la superficie, por lo que sólo se necesita integrar mi superficie con respecto a $\theta$, ¿verdad? Si puedo usar polinomios de regresión, este paso debe ser un pedazo de pastel.
2. Necesito calcular una radial perfil de temperatura $T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$, de tal manera que en cada posición radial, $P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$.

Teniendo en cuenta estos dos objetivos, la técnica que se debe utilizar para la regresión en la unidad de disco? Por supuesto, Gauss Procesos se utilizan comúnmente para la espacial de regresión. Sin embargo, la definición de un buen kernel para la unidad de disco no es trivial, así que me gustaría mantener las cosas simples y el uso de los polinomios, a menos que usted se siente que es una estrategia perdedora. He leído acerca de los polinomios de Zernike. Los polinomios de Zernike parecen ser apropiadas para la regresión en la unidad de disco, ya que son periódicas en $\theta$.

Una vez que el modelo que se elija, necesito elegir un procedimiento de estimación. Dado que este es un espacio de regresión problema, los errores en diferentes lugares debe ser correlacionados. Mínimos Cuadrados ordinarios supone la no correlación de los errores, por lo tanto supongo Generalizada de los mínimos Cuadrados , sería más apropiado. GLS parece relativamente común de la técnica estadística, dado que hay un gls función en el estándar de R de distribución. Sin embargo, nunca he utilizado el GLS, y tengo dudas. Por ejemplo, ¿cómo puedo calcular la matriz de covarianza? Un trabajado ejemplo, incluso con sólo un par de sensores, sería genial.

PS yo elegí el uso de polinomios de Zernike y GLS, porque me parece lo lógico aquí. Sin embargo, no soy experto, y si siento que me estoy yendo en la dirección equivocada, siéntase libre de utilizar un enfoque completamente diferente.

Answer 1

El Zernlike polinomios no suena como una mala elección, ya que ellos ya han $r$ $\theta$ dependencia y ortogonalidad cocido. Sin embargo, puesto que usted es el estudio de la temperatura, sin duda, más apropiado y mejor conocido opción sería las funciones de Bessel. Estos surgen en el estudio del flujo de calor en objetos cilíndricos / sistemas de coordenadas, así que hay una oportunidad de que ellos son físicamente más apropiadas. La n-ésima función de Bessel daría la dependencia radial asociada con la correspondiente función trigonométrica de la polar de la dependencia; usted puede encontrar los detalles en muchos de la física y de la PDE libros de texto.

Answer 2

Creo que estamos en el camino correcto en la forma de pensar acerca de algo , como los polinomios de Zernike. Como se señaló en la respuesta por jwimberly, estos son un ejemplo de un sistema ortogonal de funciones de base en un disco. Yo no estoy familiarizado con los polinomios de Zernike, pero muchas otras familias de funciones ortogonales (incluyendo funciones de Bessel) surgen de manera natural en el clásico de la física matemática como funciones propias de ciertas ecuaciones diferenciales parciales (en el momento de escribir esto, la animación en la parte superior de ese vínculo, incluso se muestra un ejemplo de una placa de vibración del tambor de la cabeza).

Dos preguntas vienen a mi mente. En primer lugar, si todo lo que está después es el perfil radial ($\theta$ promedio), entonces ¿cuánto restricción en el patrón espacial que se necesita? Segundo, ¿qué tipos de variabilidad que se producen en el espacio-temporales de datos?

En cuanto a la primera cuestión, hay dos preocupaciones que vienen a la mente. Debido a las coordenadas polares, con el apoyo de la zona para cada sensor tiene una tendencia con $r$. La segunda preocupación sería la posibilidad de aliasing, esencialmente, una mala alineación de los sensores en relación a la fase de la trama (para usar una de Fourier/Bessel analogía). Tenga en cuenta que aliasing probablemente será la principal incertidumbre en la restricción de los picos de temperatura (es decir,$T_{95}$).

En términos de esta segunda pregunta, los datos de variabilidad en realidad podría ayudar con cualquier alias cuestiones, esencialmente, lo que permite que cualquier mala alineación promedio de cabo a través de diferentes medidas. (Suponiendo que no hay sesgo sistemático ... pero eso sería un problema para cualquier método, sin por ejemplo, un modelo físico para dar más información).

Así que una posibilidad sería definir su espaciales ortogonales de funciones puramente en el sensor de ubicaciones. Estos "Empíricas Ortogonales de Funciones" puede ser calculada a través de la PCA en su espacio-temporal de la matriz de datos. (Posiblemente usted podría utilizar un poco de ponderación a cuenta para la variable sensor de áreas de apoyo, pero dado el uniforme de la cuadrícula polar y destino de radial promedios, esto puede no ser necesario.)

Tenga en cuenta que si no es ninguna de modelado físico de los datos disponibles para el "esperado" las variaciones en la temperatura, disponible en un denso espacio-temporal de la malla de cálculo, a continuación, el mismo PCA procedimiento podría aplicarse a la que los datos para derivar funciones ortogonales. (Lo que se suele llamar "Adecuada Descomposición Ortogonal" en la ingeniería, donde se utiliza para la reducción de modelo, por ejemplo, una cara de dinámica de fluidos computacional del modelo puede ser destilada para su uso en actividades de diseño.)

Un comentario final, si se que el peso de los datos del sensor por el área de apoyo (es decir, la polar de tamaño de las células), este sería un tipo de covarianza diagonal, en el marco de GLS. (Que se aplican a su problema de predicción más, aunque ponderado PCA sería estrechamente relacionados.)

Espero que esto ayude!

Actualización: Su nuevo diagrama de la distribución del sensor cambia considerablemente las cosas, en mi opinión. Si desea estimar las temperaturas sobre el disco interior, usted tendrá una mucho más informativo antes de que simplemente "conjunto ortogonal de funciones en la unidad de disco". Sólo hay muy poca información en los datos de los sensores.

Si usted realmente desea estimar la distribución espacial de la temperatura la variación a lo largo del disco, la única manera que puedo ver sería para tratar el problema como uno de asimilación de datos. Aquí usted necesitaría al menos restringir la forma paramétrica de la distribución espacial basado en algunas basado en la física de consideraciones (pueden ser de las simulaciones, o podría ser a partir de datos relacionados en sistemas con dinámicas similares).

No sé su aplicación en particular, pero si es algo como esto, entonces me imagino que hay una extensa ingeniería de la literatura que se podría recurrir para elegir antes de restricciones. (Para los que la ordenación detallada de conocimiento del dominio, esto probablemente no es la mejor StackExchange sitio para preguntar.)