El promedio de la distancia en una esfera de radio $r$ $\frac{\pi}{2}r$ (lo que podemos conseguir sin ningún tipo de integraciones porque no como mucho de área a una distancia $\frac{\pi}{2}+\theta$ a partir de un punto dado, como la hay en $\frac{\pi}{2}-\theta$); por lo que esta es
$$\bar{d}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{A}{4\pi}}=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\sqrt{A}\approx 0.443 \sqrt{A}\;.$$
El promedio de la distancia en el plano del colector $(\mathbb R / a\mathbb Z)^2$ $\frac{1}{6}(\sqrt{2}+\sinh^{-1} 1)a$ (el promedio de la distancia Euclídea entre el punto de $(a/2,a/2)$ y un punto al azar en $[0,a]^2$), y el área de colector es $a^2$, lo que hace que
$$\bar{d}=\frac{1}{6}(\sqrt{2}+\sinh^{-1} 1)\sqrt{A}\approx 0.383 \sqrt{A}\;.$$
Así que no es cierto que un plano del colector tiene una mayor distancia promedio de una esfera; es la otra manera alrededor. Sospecho que la comparación que quieres decir es que entre una esfera y un disco plano; pero un disco es un manifold con frontera, no de un colector, y el más alto promedio de la distancia debido a la frontera, no a la llanura.
[Modificar:] he Aquí el cálculo de la media distancia en el plano del caso, conforme a lo solicitado. [Esta es una versión corregida.]
Tenemos una integral de la forma $\sqrt{x^2+c^2}$ varias veces, así que voy a hacer en forma general, en primer lugar, mediante la sustitución de $x=c\sinh u$:
$$
\begin{eqnarray}
\int\sqrt{x^2+c^2}\mathrm dx
&=&
\int c\sqrt{1+\sinh^2 u}\;c\cosh u\mathrm du
\\
&=&
c^2\int\cosh^2u\mathrm du
\\
&=&
\frac{c^2}{2}(u+\sinh u\cosh u)
\\
&=&
\frac{c^2}{2}\left(\sinh^{-1}\frac{x}{c}+\frac{x}{c}\sqrt{1+\left(\frac{x}{c}\right)^2}\right)
\\
&=&
\frac{1}{2}\left(c^2\sinh^{-1}\frac{x}{c}+x\sqrt{x^2+c^2}\right)\;.
\end{eqnarray}
$$
Entonces la integral sobre la distancia en la célula primitiva de una plaza de celosía con $a=2$ es
$$
\begin{eqnarray}
\int_{-1}^1\int_{-1}^1\sqrt{x^2+y^2}\mathrm dx \mathrm dy
&=&
4\int_0^1\int_0^1\sqrt{x^2+y^2}\mathrm dx \mathrm dy
\\
&=&
4\int_0^1\left[
\frac{1}{2}\left(y^2\sinh^{-1}\frac{x}{y}+x\sqrt{x^2+y^2}\right)
\right]_0^1 \mathrm dy
\\
&=&
2\int_0^1
\left(y^2\sinh^{-1}\frac{1}{y}+\sqrt{y^2+1}\right)
\mathrm dy\;.
\end{eqnarray}
$$
Podemos lidiar con el primer término, integrando por partes dos veces:
$$
\begin{eqnarray}
\int y^2\sinh^{-1}\frac{1}{y}\mathrm dy
&=&
\frac{1}{3}\left(y^3\sinh^{-1}\frac{1}{y}+\int y\frac{1}{\sqrt{1+(1/y)^2}}\mathrm dy\right)
\\
&=&
\frac{1}{3}\left(y^3\sinh^{-1}\frac{1}{y}+\int y\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\mathrm dy\right)
\\
&=&
\frac{1}{3}\left(y^3\sinh^{-1}\frac{1}{y}+y\sqrt{y^2+1}-\int \sqrt{y^2+1}\mathrm dy\right)\;.
\end{eqnarray}
$$
Poner todo junto, obtenemos
$$
\begin{eqnarray}
\int_{-1}^1\int_{-1}^1\sqrt{x^2+y^2}\mathrm dx \mathrm dy
&=&
2\left\{\frac{1}{3}\left[
y^3\sinh^{-1}\frac{1}{y}+y\sqrt{y^2+1}
\right]_0^1
+\left(1-\frac{1}{3}\right)
\int_0^1\sqrt{y^2+1}\mathrm dy\right\}
\\
&=&
\frac{2}{3}\left[
y^3\sinh^{-1}\frac{1}{y}+y\sqrt{y^2+1}
+\sinh^{-1}y+y\sqrt{y^2+1}\right]_0^1
\\
&=&
\frac{4}{3}\left(\sinh^{-1}1+\sqrt{2}\right)\;.
\end{eqnarray}
$$
Esto tiene que ser dividido por el área de $2^2$ para obtener el promedio de la distancia de $a=2$, y luego por $2$ para obtener el promedio de la distancia de $a=1$, ya que la distancia media escala linealmente con $a$; lo cual nos conduce al resultado anterior.
Para el promedio de la distancia en el cociente del avión con respecto a una red hexagonal, podemos usar la simetría para restringir el cálculo de la mitad de una de las $6$ triángulos equiláteros. Las integrales son más complicadas para el trabajo a mano, pero se puede hacer analíticamente; WolframAlpha da
$$
\int_0^{\sqrt{3}/2} \int_0^{1-y/\sqrt{3}} \sqrt{x^2+y^2}\mathrm dx \mathrm dy
=\frac{4+\log 27}{32\sqrt{3}}
$$
por el lado de longitud $a=1$. El área de uno de estos la mitad-triángulos es $\frac{\sqrt{3}}{8} a^2$, por lo que el área total del colector es $\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$, y el promedio de la distancia sale como
$$\bar{d}=\left(\frac{4+\log 27}{32\sqrt{3}}/\frac{\sqrt{3}}{8}\right)a=\frac{4+\log 27}{12}\sqrt{\frac{A}{3\sqrt{3}/2}}\approx 0.370 \sqrt{A}\;,$$
así yasmar del colector, de hecho, mejora levemente en la que utiliza una plaza de celosía.
