Calcular la integral de Gauss con el paso de las funciones de

Question

Decir, estamos interesados en la obtención de

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}=\sqrt{\pi}\tag{1}$$

Hay muchos bien conocidos maneras de hacerlo, por ejemplo:

• por coordenadas polares
• a través de la función gamma, etc.

Después de venir a través de este límite $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{\pi n}}{2^{2n}} \binom {2n} {n+\lfloor x\sqrt{n} \rfloor} = e^{-x^2}\tag{2}$$ Me pregunto ¿cómo podemos derivar $(1)$ mediante $(2)$ como una aproximación a través de paso de las funciones.

Aquí está una foto de $n=4$:

Answer 1

Para cada $n\geqslant1$, considere la función $u_n$ definido por $$ u_n(x)=\frac{\sqrt{\pi n}}{2^{2n}} \binom {2n} {n+\lfloor x\sqrt{n} \rfloor}. $$ Sucede que, para cada $n$, $$ \int_\mathbb Ru_n(x)\,\mathrm dx=\sqrt\pi. $$ Para ver esto, observe que $u_n(x)=0$ por cada $x\lt-\sqrt{n}$ y cada una de las $x\geqslant\sqrt{n}$ y $u_n(x)=u_n(k/\sqrt{n})$ por cada $x$ en el intervalo de $[k/\sqrt{n},(k+1)/\sqrt{n})$, para cada entero $-n\leqslant k\leqslant n$. La longitud de cada uno de estos $2n+1$ intervalos de es $1/\sqrt{n}$, por lo tanto $$ \int_\mathbb Ru_n(x)\,\mathrm dx=\sum_{k=-n}^nu_n(k/\sqrt{n})/\sqrt{n}=\sqrt{\pi}\,2^{-2n}\sum_{k=-n}^n{2n\elegir n+k}=\sqrt{\pi}\,2^{-2n}\sum_{i=0}^{2n}{2n\elegir i}. $$ Por el teorema del binomio, la última suma en el lado derecho es $2^{2n}$, por lo que hace.

Answer 2

Mi sugerencia: Este es Gauss integración que es famoso. Laplace prueba de igualdad de $\sqrt{\pi}$. También la técnica para calcular así: $$I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$$ El cuadrado de los dos lados y el cambio de variable:

$$I^2=\left ( \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \right )^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

$dxdy$ es el diferencial de superficie en $Oxy$, la integración de dominio es todo el plano debemos cambiar a coordenadas polares: $$\left\{\begin{matrix} x=r \cos\varphi\\ y=r\sin\varphi \end{matrix}\right.$$ En el que $$\left\{\begin{matrix} \varphi: 0 \rightarrow 2\pi\\ r: 0 \rightarrow +\infty \end{matrix}\right.$$

$$I^2=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}rdrd\varphi=\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}rdr\int_{0}^{2\pi}d\varphi=\frac{1}{2}.2\pi=\pi$$

Por lo tanto $$I=\sqrt{\pi}$$