Hay una forma cerrada para las soluciones no triviales de $x^y = y^x$?

Question

Puede demostrarse $\forall x \in \Bbb{R}^+ \exists \{y_1, y_2\} : x^y = y^x.$, y el primero de estos dos números es trivial, $y_1 = x$. La segunda es trivial, y no puedo encontrar una forma cerrada para todas las soluciones no triviales. He encontrado una buena aproximación, $y_2$ ~ $\frac{(e-1)^2}{x-1} +1$. Hay una función para todos los valores de $y_2$, o puede ser mostrado $y_2$ es o no es una función racional?

Un ejemplo de la solución es $2^4 = 4^2$, el único entero solución.

Answer 1

Supongamos que queremos encontrar un par de $(x,y)$, de modo que $x^y=y^x$. Vamos a escribir $x=t^a$$y=t^b$. Entonces $$t^{\large a^b}=x^y=y^x=t^{\large bt^a}\etiqueta{1}$$ Si $t\gt1$ o $t\lt1$, $t^x$ es monótona; por lo tanto, debemos tener $$a^b=bt^a\etiqueta{2}$$ que es el mismo que $$\frac ab=t^{a-b}\etiqueta{3}$$ Ahora podemos solucionar $a-b=1$$\frac ab=t$, lo que da $a=\frac t{t-1}$$b=\frac1{t-1}$.

Por tanto, podemos utilizar $$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{(x,y)=\left(\inferior{3pt}{t^{\large\frac{t}{t-1}},t^{\large\frac1{t-1}}}\right)}\etiqueta{4}$$ Observe que $t=\frac12$ da $(2,4)$ $t=2$ da $(4,2)$. De hecho, $t$ $\frac1t$ dar el mismo par en orden inverso, de modo que se puede restringir a $t\in(0,1)$ o a $t\in(1,\infty)$.

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$t=\frac13$ da $\raise{1pt}{\left(\lower{2pt}{3^{\frac12},3^{\frac32}}\right)}$, y de hecho $$\left(\lower{2pt}{3^{\frac12}}\right)^{3^{\frac32}}=3^{\frac12\cdot3^{\frac32}}=3^{\frac32\cdot3^{\frac12}}=\left(\lower{2pt}{3^{\frac32}}\right)^{3^{\frac12}}$$

$t=\frac14$ da $\raise{1pt}{\left(\lower{2pt}{4^{\frac13},4^{\frac43}}\right)}$, y de hecho $$\left(\lower{2pt}{4^{\frac13}}\right)^{4^{\frac43}}=4^{\frac13\cdot4^{\frac43}}=4^{\frac43\cdot4^{\frac13}}=\left(\lower{2pt}{4^{\frac43}}\right)^{4^{\frac13}}$$

Answer 2

Como Shailesh comentado, la segunda raíz expresa en términos de Lambert función que corresponde a $z=W(z)\, e^{W(z)}$.

Aplicado al caso de la ecuación de $x^y = y^x$, la solución para la segunda raíz es dada por $$y_2=-\frac{x }{\log (x)}W\left(-\frac{\log (x)}{x}\right)$$ which will be real valued if $x \geq e$.

En la página de la Wikipedia, usted encontrará agradable aproximaciones de $W(z)$ para pequeñas y grandes valores del argumento.

Aplicado al caso particular de la ecuación de $x^y = y^x$, para valores grandes de a $x$, una expansión de la serie daría $$$ y=1+\frac{\log(x)}{x}+\frac{3 \log ^2(x)}{2 x^2}+\frac{8 \log ^3(x)}{3 x^3}+\frac{125 \log ^4(x)}{24 x^4}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^5\right)$$

Respecto a su aproximación, me gustaría felicitar a usted. Para valores enteros de a$x$$3$$10$, yo curva equipada (regresión lineal) el modelo de $$y_2=a+\frac b {x-c}$$ and obtained $$y_2=1.06074 +\frac{2.79877}{x-1.02478}$$ que es casi perfecto.

Answer 3

Nota: Una búsqueda en Google para "soluciones racionales a x^y = y^x" ocurrió, entre otros, este: http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/on-the-rational-solutions-of-xy-yx

Resumen: "El autor ofrece una nueva manera de encontrar todas las soluciones racionales de $x^y=y^x$ así como un estudio histórico de este problema."

Aquí está la historia, desde el artículo (ecuación (1) es $x^y = y^x$):

En una carta dirigida por Daniel Bernoulli a Goldbach (1728) [l], la ecuación (1) se menciona con la afirmación de que (x, y) = (2,4) (o (4,2)) es el único entero solución. En su respuesta Goldbach le da la solución general de (1) por escrito $y =ax$, por lo tanto, $x^ {ax} = ( ax)^x$ y después de la simplificación, e ignorando el caso trivial al $a = 1$, $x=a^{1/(a-1)}$ y $y=a^{a/(a-1)}$

La ecuación (1) también se discute en detalle por Euler en [2].

"REFERENCIAS"

"1. La Correspondencia De Matemáticas. Phys. (editado por Fuss), Vol. 2, páginas 262 y 280."

"2. Leonhard Euler, lntroductio en analysin infinitorum, Tom II, Cap. 21 §519."

"3. L. E. Dickson, Historia de la Teoría de los Números, de Nueva York, Vol. II, Ginebra y Lausana, 1748, p.687."

"4. E. J. Moulton, La función real definida por $X^y=Y^x$, Amer. De matemáticas. Mensual 23 (1916), 233-237."

"5. A. Hausner, Algebraicas número de campos y de la ecuación de Diophantine $m^n = n^m$, Amer. De matemáticas. Mensual 68 (1961), 856-861."

Mi favorito de parametrización:

Deje $y = rx$. Entonces

$\begin{array}\\ x^y = y^x \iff &x^{rx} = (rx)^x\\ \iff &x^{r} = rx \qquad\text{(take the x-th root)}\\ \iff &x^{r-1} = r \qquad\text{(divide by x)}\\ \iff &x = r^{1/(r-1)} \qquad\text{(take the r-1th root)}\\ \text{and} &y = rx = r^{r/(r-1)}\\ \end{array}$