El problema de Dido con un arclength restricción

Question

Es bien sabido que la solución para el clásico problema de Dido es un semicírculo, y que la solución a la clásica problema isoperimétrico es un círculo. Es también obvio que la solución a la siguiente variante es un arco circular:

Deje $A$ $B$ se fija los puntos de un plano, y deje $l$ ser de una longitud mayor que $\overline{AB}$. Que (suave) de la curva a través de$A$$B$, de longitud $l$, maximiza el área entre él y la línea de $AB$?

Es un sencillo ejercicio para comprobar extremality mediante el cálculo de variaciones, pero hay pruebas alternas que no invocar por ejemplo, el de Euler-Lagrange las ecuaciones? Este fue originalmente una tarea problema con la desigualdad isoperimétrico dado como una sugerencia, y me pregunto lo que pretende la solución fue...

Answer 1

Este diagrama puede ayudar a:

Para cualquier longitud de $l > \overline{AB}$, podemos encontrar un círculo que pasa a través de $AB$ de manera tal que la longitud de un arco circular entre el $A$ $B$ es igual a $l$. En el diagrama anterior, supongamos que el rojo, salpicado de arc $ADB$ y la parte superior del círculo ambos tienen la longitud $l$. Tenga en cuenta que la región delimitada por $ADBC$ (es decir: la zona rosa) tiene la misma longitud del perímetro como el círculo.

Answer 2

Aunque no estoy seguro de que este perfectamente a resolver el asunto arbitrario $l$, es fácil conseguir esto en casos especiales, en una forma que puede señalar el camino para una solución general (en particular, por la continuidad) : construir un triángulo isósceles en $AB$ con los otros dos lados tanto igual al radio del círculo correspondiente, y considere el 'ice-cream-cono con su curva y que las dos radios, y juntar sin embargo muchos de estos que se necesita para formar un círculo (tenga en cuenta que esto sólo funciona para los arcos que son parte integrante de las divisiones del círculo correspondiente!). La desigualdad isoperimétrico, a continuación, dice que el área total de maximización de la curva es un círculo, lo que implica que la sección de la curva entre el $AB$ que maximiza el área de cuña es un arco circular, y puesto que el área del triángulo es constante sólo puede restar a cabo...