Prueba para distinguir los periódicos de casi periódica de datos

Question

Supongamos que tengo alguna función desconocida $f$ dominio $ℝ$, que sé que cumplir con algunas condiciones razonables como una continuidad. Sé exactamente los valores de $f$ (debido a que los datos proceden de una simulación) en algunos equidistante de los puntos de muestreo $t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$, que puedo asumir que para ser lo suficientemente fino para capturar todos los aspectos relevantes de la $f$, por ejemplo, puedo asumir que hay un local del extremo de $f$ entre dos puntos de muestreo. Estoy buscando una prueba que me dice que si mis datos cumple con $f$ siendo exactamente periódico, es decir, $∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, con la duración del período de ser algo razonable, por ejemplo, $Δt < τ < n·Δt$ (pero es concebible que me puede hacer más fuertes las restricciones, si es necesario).

Desde otro punto de vista, tengo los datos de ${x_0, …, x_n}$ y estoy buscando una prueba que responde a la pregunta de si una función periódica $f$ (cumpliendo las condiciones que la anterior) existe tal que $f(t_i)=x_i ∀ i$.

El punto importante es que el $f$ es por lo menos muy cerca de la periodicidad (podría ser, por ejemplo, $f(t) := \sin(g(t)·t)$ o $f(t) := g(t)·\sin(t)$$g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$) en la medida en que el cambio de un punto de datos por una pequeña cantidad puede ser suficiente para hacer que los datos cumplan con $f$ siendo exactamente periódico. Por lo tanto las herramientas estándar para el análisis de la frecuencia, tales como la transformada de Fourier o el análisis de cruces por cero no ayuda mucho.

Tenga en cuenta que la prueba de que estoy buscando es probable que no se probabilística.

Tengo algunas ideas de cómo diseñar una prueba a mí mismo, pero quieren evitar reinventar la rueda. Así que estoy en busca de una prueba existente.

Answer 1

Como ya he dicho, yo tenía una idea de cómo hacer esto, que me di cuenta, refinado y escribió un libro acerca de, que ahora se publica: el Caos 25, 113106 (2015) – preimpresión en ArXiv.

El investigado criterio de que es casi lo mismo como se describe en la pregunta: teniendo en cuenta los datos de $x_1, \ldots, x_n$ muestreados en los puntos de tiempo $t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$, la prueba se decide si hay una función de $f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$ $τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$ tal forma que:

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ no tiene más extremos locales de la secuencia de $x$, con la posible excepción de un extremo cerca del principio y el final de la $f$ cada uno.

La prueba puede ser modificado para dar cuenta de los pequeños errores, tales como errores numéricos de la simulación del método.

^{Espero que mi papel también las respuestas de por qué yo estaba interesado en una prueba.}

Answer 2

Transformar los datos en el dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier discreta (DFT). Si los datos son perfectamente periódico, no será exactamente una frecuencia de reciclaje con un alto valor, y otras bandejas serán de cero (o casi cero, ver fuga espectral).

Tenga en cuenta que la resolución de la frecuencia está dada por $\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$. Para esto, se establece el límite de la precisión en la detección.

Answer 3

Si usted sabe que el real de la señal periódica, calcular

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Luego suma los elementos de $\text{difference}$. Si está por encima de un umbral (considerar el error de aritmética de punto flotante) de los datos no es periódica.