Dado $x+y$$x\cdot y$, lo $x^3+ y^3$ ?

Question

He estado buscando en una variedad de la escuela secundaria número sentido pruebas y me di cuenta de un problema recurrente que los estados lo que x+y es y de lo $x\cdot y$ se pide a continuación,$x^3+ y^3$. Quiero saber cómo trabajar estos problemas. Tengo un par de ejemplos.

$x+y=5$ $x\cdot y=1$ , $x^3+y^3=?$ [clave dice 110]

$x+y=-1$ $x\cdot y=2$ , $x^3+y^3=?$ [clave dice 5]

$x-y=-1$ $x\cdot y=2$ , $x^3 -y^3=?$ [clave dice -7]

$x+y=\frac{1}{3}$ $x\cdot y=\frac{1}{9}$ , luego $x^3+y^3=?$ $\left[-\dfrac{2}{27}\right]$

Answer 1

Uso de la identidad $$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3= x^3+y^3+3xy(x+y).$$

Answer 2

Hay un simple algoritmo debido a Gauss para volver a escribir un polinomio simétrico $f(x,y)$ como polinomio en términos de la primaria simétrica polinomios $\,s_1 = x+y,\ \ s_2 = xy.$ es decir si $f$ tiene el grado más alto plazo $\ c x^a y^b $ en la lex (diccionario) orden (es decir, $\,(a,b) > (c,d)\, $ si $\,a >c,\,$ o $\,a= c\,$$\, b > d)\,$, a continuación, cancelar el mayor plazo de $\,f\,$ restando $\,cs_1^{a-b} s_2^b,\, $ , a continuación, llame a sí misma en lo que queda.

Vamos a realizar el algoritmo de Gauss en el ejemplo a la mano $\ f = x^3 + y^3.\ $ Desde $(3,0) > (0,3)\,$ el más alto grado del monomio es$\ 1\cdot x^\color{#0a0}3y^\color{#c00}0,\ $, por lo que restamos $\ 1\cdot s_1^{\color{#0a0}3-\color{#c00}0} s_2^\color{#c00}0\, =\, (x+y)^3\ $ de rendimiento.

$$\ x^3+y^2\ -\ (x+y)^3\, =\ 3x^2 y + 3x y^2$$

Por $\,(2,1)>(1,2),\, $ HR tiene altos grados de plazo$\,3x^{\color{#0a0}2} y^\color{#c00}1\,$, por lo que restamos $\ 3 s_1^{\color{#0a0}2-\color{#c00}1} s_2^\color{#c00}1\, =\, 3(x+y)(xy)$

$$\ x^3+y^2\, -\ (x+y)^3\, -\ 3(x+y)(xy) \ =\ 0$$

De manera que el algoritmo termina, produciendo $\ f = s_1^3 + 3s_1 s_2.\ $ Desde que se conocen los valores de $\,s_1 = x+y,\ $ $\ s_2 = xy,\ $ ahora se puede calcular el $f$ mediante el uso de la anterior ecuación.

Este mismo algoritmo funciona para polinomios en cualquier número de variables. Reduce estos problemas a la memorización mecánica de cálculo, es decir, no conjeturas se requiere para resolver tales problemas, sólo simple polinomio aritmético. El algoritmo produce una interpretación constructiva del Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos, que cada simétrica polinomio tiene una representación única como un polinomio en la primaria simétrica polinomios.

El algoritmo de Gauss puede ser visto como un caso especial de Gröbner base de los métodos (que puede ser visto tanto como una generalización multivariante de la (Euclidiana) división de polinomios algoritmo, así como de una relación no lineal genralization de eliminación Gaussiana para sistemas lineales de ecuaciones). El algoritmo de Gauss es el primer uso conocido de un lexicográfica del fin de plazo de reescritura (ahora de mecanizado por el Grobner base algoritmo y métodos relacionados).

Answer 3

Gerencia de recursos humanos. Cómo podemos hacer de la $x^3 + y^3$ fuera de eso?

¿Qué herramientas tenemos a nuestra disposición? Tenemos $x+y$. Tenemos $xy$. Y tenemos la aritmética.

Aún no sé cómo hacer $x^3 + y^3$ exactamente. Vamos a centrarnos en una parte: hagamos $x^3$, y luego a ver qué podemos hacer con lo que sobra.

Es bastante fácil de hacer $x^3$ multiplicando las cosas juntos. Podríamos tomar a $(xy) \cdot (xy) \cdot (xy)$. Podríamos tomar a $(x+y) \cdot(x+y) \cdot (xy)$. Hay otros. Vamos a experimentar y probar todos ellos. La multiplicación de ellos, podemos hacer

• $x^3 y^3$
• $x^3 y^2 + x^2 y^3$
• $x^3 y + 2 x^2 y^2 + x y^3$
• $x^3 + 3 x^2 y + 3 x y^2 + y^3$

Esto último parece intrigante: ha $x^3$ todo por sí mismo, sin otros términos multiplicados. Incluso ha $y^3$ también.

Así que vamos a ir con eso, y tratar de restar el resto. Ahora, la pregunta es

¿Cómo hacer que la $3x^2 y + 3 x y^2$

Si podemos resolver esto, entonces podemos combinar esa respuesta con la de arriba para hacer $x^3 + y^3$.

Answer 4

Su sencilla. Uso de la identidad ${x^3 + y^3 =(x+y)(x^2 +y^2 -xy) }$

En la anterior identidad; hacer modificaciones y traerlo al presente formulario : ${x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 -3xy) }$

Ahora poner los valores de ${x+y}$ ${xy}$ en las ecuaciones anteriores, usted debe obtener la respuesta correcta.

:)

Answer 5

Si el problema no puede reducirse a la simétrica caso, entonces la base de Groebner se puede utilizar para resolver el problema. Pero el cálculo a mano, es muy engorroso, por eso uso Maxima y obtuvo el siguiente resultado. poly_reduced_grobnercalcula una base de Groebner y poly_pseudo_dividehace la división. El primer elemento de la lista de resultados es la lista de los coeficientes de la segunda y la tercera son el numerador y el denomiantor del resto. Este es el número que estamos buscando.

  (%i4)                            load(grobner)
  Loading maxima-grobner $Revision: 1.6 $ $Date: 2009-06-02 07:49:49 $
  (%i5) poly_reduced_grobner([-5+y+x,x*y-1],[x,y])
  (%o5) [y+x-5,y^2-5*y+1]
  (%i6) poly_pseudo_divide(y^3+x^3,%,[x,y])
  (%o6) [[y^2-x*y-10*y+x^2+5*x+25,15],110,1,7]
  (%i7) poly_reduced_grobner([1+y+x,x*y-2],[x,y])
  (%o7) [y+x+1,y^2+y+2]
  (%i8) poly_pseudo_divide(y^3+x^3,%,[x,y])
  (%o8) [[y^2-x*y+2*y+x^2-x+1,-3],5,1,7]
  (%i9) poly_reduced_grobner([1+y+x,2+x*y],[x,y])
  (%o9) [y+x+1,y^2+y-2]
  (%i10) poly_pseudo_divide(y^3+x^3,%,[x,y])
  (%o10) [[y^2-x*y+2*y+x^2-x+1,-3],-7,1,7]
  (%i11) poly_reduced_grobner([(-1)/3+y+x,x*y-1/9],[x,y])
  (%o11) [3*y+3*x-1,9*y^2-3*y+1]
  (%i12) poly_pseudo_divide(y^3+x^3,%,[x,y])
  (%o12) [[9*y^2-9*x*y-6*y+9*x^2+3*x+1,3],-2,27,7]