Aplicaciones de la teoría de la probabilidad en matemáticas puras

Question

Mi impresión (quizás errónea) es que si bien la probabilidad se utiliza ampliamente en la ciencia (por ejemplo, en la mecánica estadística), rara vez se ve en las matemáticas puras. Lo que me lleva a la pregunta -

¿Existen algunas aplicaciones interesantes de la Teoría de la Probabilidad en las matemáticas puras, fuera de la propia Teoría de la Probabilidad?

Answer 1

Puedes encontrar algunos ejemplos interesantes en este hilo de MathOverflow:

https://mathoverflow.net/questions/9218/probabilistic-proofs-of-analytic-facts

Answer 2

El teorema Erdős–Kac muestra que los factores primos de un número (el logaritmo del logaritmo de este) están distribuidos de manera Poisson o normal.

Answer 3

Además de ejemplos, la respuesta general "gestalt" a la pregunta es: la probabilidad se utiliza en todas partes en matemáticas. Es una idea básica en el nivel de algoritmo, estructura algebraica, geometría, cálculo u otras cosas muy ubicuas. Se ha convertido en una fuente muy popular de preguntas e intuiciones en la investigación, en todos los campos. Sabiendo que esto es cierto, no es sorprendente que se puedan publicar muchos ejemplos de usos teóricos de la probabilidad.

Siendo un lenguaje básico, también es cierto que muchos de los usos de la probabilidad son básicos, y no van más allá de la idea de una distribución de probabilidad, frecuencias de eventos, expectativas, combinatoria relacionada, y así sucesivamente. Pero en algunos campos, constantemente se están utilizando resultados avanzados en teoría de la probabilidad.

Answer 4

Existe una fuerte conexión entre la teoría de la probabilidad y áreas del análisis real como las ecuaciones diferenciales parciales lineales y la teoría del potencial. Si $X_t$ es un proceso estocástico en tiempo continuo en un espacio de estados $S$, la función $u(x,t) = E_x[f(X_t)]$ tiende a satisfacer una ecuación como $\partial_t u + Lu = 0$, donde $L$ es algún operador interesante. ($E_x$ indica que el proceso debe comenzar en el punto $x \in S$, y $f$ es una función de valores reales en $S$). El ejemplo clásico es cuando $X_t$ es el movimiento Browniano en $\mathbb{R}^n$; entonces $L$ es el operador Laplaciano. Así que se pueden estudiar ecuaciones de calor, funciones armónicas, teoría espectral, desigualdades funcionales y muchos otros temas de "análisis" al pensar en un proceso estocástico correspondiente.

La teoría de los formas de Dirichlet hace esta correspondencia bastante precisa.

Si el espacio de estados $S$ es una variedad, entonces el estudio del operador $L$ tiende a estar estrechamente relacionado con la geometría de $S, por lo que también se puede estudiar la geometría diferencial a través de la teoría de la probabilidad.

Answer 5

Uno de mis ejemplos favoritos es una demostración del teorema de aproximación de Weierstrass, el hecho de que los polinomios son densos en el espacio de funciones continuas sobre un intervalo.

Me gusta la demostración porque es elemental y la conclusión llega como una sorpresa.