Resolución de ecuaciones de matrices de la forma $X = AXA^T + C$

Question

Estoy tratando de resolver esta ecuación de matriz:

$$X = AXA^T + C$$

En particular,

$$ X = \begin{bmatrix} 1.5 & 1 \\ -0.7 & 0 \end{bmatrix} X \begin{bmatrix} 1.5 & -0.7 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.25 \end{bmatrix}. $$

Empecé escribiendo $X$ en forma abierta.

$$X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

La ecuación se convierte en

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 1 \\ -0.7 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.5 & -0.7 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.25 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5a+c & 1.5b+d \\ -0.7a & -0.7b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.5 & -0.7 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.25 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.25a+1.5b+1.5c+d & -1.05a-0.7c \\ -1.05a-0.7b & 0.49a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.25 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a-1 & b-0.5 \\ c-0.5 & d-0.25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.25a+1.5b+1.5c+d & -1.05a-0.7c \\ -1.05a-0.7b & 0.49a \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -1 & -0.5 \\ -0.5 & -0.25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.25a+1.5b+1.5c+d & -1.05a-b-0.7c \\ -1.05a-0.7b-c & 0.49a-d \end{bmatrix} \\ $$

La equiparación de las células de RHS y LHS matrices escribí la ecuación lineal conjunto

$$ \begin{bmatrix} 1.25 & 1.5 & 1.5 & 1 \\ -1.05 & -1 & -0.7 & 0 \\ -1.05 & -0.7 & -1 & 0 \\ 0.49 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -0.5 \\ -0.5 \\ -0.25 \end{bmatrix} $$

He resuelto este conjunto de ecuaciones con dos diferentes herramientas de software para encontrar exactamente el mismo $a$, $b$, $c$ y $d$ valores:

$$X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18.8802 & -11.3672 \\ -11.3672 & 9.5013 \end{bmatrix}$$

Ahora, recuerde que la ecuación anterior:

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & 1 \\ -0.7 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.5 & -0.7 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.25 \end{bmatrix} $$

Cuando pongo el $a$, $b$, $c$ y $d$ valores en el lado derecho, no me parece que el $X$ de la matriz en el lado izquierdo.

$$ \begin{bmatrix} 1.5 & 1 \\ -0.7 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 18.8802 & -11.3672 \\ -11.3672 & 9.5013 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1.5 & -0.7 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 163.4421 & -332.7002 \\ -332.7002 & 857.9770 \end{bmatrix} $$

¿Qué estoy haciendo mal en mis cálculos?

Answer 1

La última línea está mal. El lado derecho es, de hecho,$\begin{bmatrix} 18.8802 & -11.3672 \\ -11.3672 & 9.5013 \end{bmatrix}$,$X$. Así, la solución para $X$ es correcta.

Answer 2

Su solución para $X$ es correcta.

Aquí hay otra solución (es trampa, sin embargo, debido a que utiliza Octava). En él plus lado, muestra otro enfoque a la solución de la ecuación.

$A$ es diagonalizable, por lo que tiene una base de vectores propios, $u_1,u_2$. Definir el operador lineal $L(X) = X-A X A^*$. Usted desea solucionar $L(X) = C$. Tenga en cuenta que $u_i u_j^*$ constituye una base para el espacio de $2 \times 2 $ matrices, y $L(u_i u_j^*) = (1-\lambda_i \overline{\lambda_j}) u_i u_j^*$, por lo tanto $L$ es diagonalizable.

Para expresar $C$ en términos de $u_i u_j^*$, vamos a $C = \sum_{i,j} [\Gamma]_{ij} u_i u_j^*$, y resolver para $\Gamma$. Deje $U$ ser la matriz cuyas columnas son $u_1 ,u_2$. Tenga en cuenta que $\sum_i [\Gamma]_{ij} u_i = U \Gamma e_j$, por lo que tenemos $C = \sum_{j} U \Gamma e_j u_j^* = \sum_{j} U \Gamma e_j (U e_j)^* = \sum_{j} U \Gamma e_j e_j^T U^* = U \Gamma (\sum_{j} e_j e_j^T) U^* = U \Gamma U^*$. De ello se desprende que $\Gamma = U^{-1} C (U^{-1})^*$, y si solucionamos $L(\sum_{i,j} [\tilde{X}]_{ij} u_i u_j^*) = \sum_{i,j} [\Gamma]_{ij} u_i u_j^*$, obtenemos $[\tilde{X}]_{ij} = \frac{1}{1-\lambda_i \overline{\lambda_j}} [\Gamma]_{ij}$.

Invirtiendo el procedimiento para obtener el $X$ en el estándar de base, tenemos $X = U \tilde{X} U^*$.

El uso de Octava obtenemos el mismo resultado que el anterior.

a = [1.5 1 ; -0.7 0 ]
c = [1 0.5 ; 0.5 0.25 ]

[u,d] = eig(a)

l = [d(1,1) ; d(2,2) ]

phi = ones(2,2)-l*l'

gamma = inv(u)*c*inv(u')

x_tilde = (1./phi).*gamma
x = u*x_tilde*u'

# check result...
a*x*a'+c-x

Aquí está el resultado:

octave:44> a*x*a'+c-x
ans =

   0.00000 - 0.00000i   0.00000 - 0.00000i
   0.00000 - 0.00000i   0.00000 + 0.00000i

octave:45> x
x =

   18.8802 +  0.0000i  -11.3672 -  0.0000i
  -11.3672 -  0.0000i    9.5013 +  0.0000i