Inductivo prueba de que ${2n\choose n}=\sum{n\choose i}^2.$

Question

Me gustaría probar inductivamente que $${2n\choose n}=\sum_{i=0}^n{n\choose i}^2.$$

Yo conozco a un par de no-inductivo de pruebas, pero no puedo hacerlo de esta manera. El paso inductivo me escapa. He intentado ingenuamente cosas como $${2n+2\choose n+1}={2n+2\over n+1}{2n+1\choose n}=2\cdot {2n+1\over n+1}{2n\choose n},$$

Pero creo que no puede llevarme a ninguna parte. Me gustaría que la prueba sea tan simple como sea posible.

Answer 1

Dividir el 2n elementos en dos grupos de tamaño n A continuación, el no. de maneras de elegir n de la 2n es el no. de maneras de elegir yo a partir de la 1ª y en la n-i a partir de la 2ª y dejar que me variar.

Answer 2

Después de que Martin Sleziak y Marc van Leeuwen comentarios, he encontrado este inductivo prueba de Vandermonde de la identidad. (En este mismo sitio.)