Es bien sabido que un polinomio de grado $n$ está totalmente determinado por $n+1$ puntos. Ahora, ¿hay algún resultado similar para funciones racionales?
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¿Demasiados anuncios?
No tengo un "pre-cálculo" simplificación, pero veo algunas cosas que no se mencionan aquí, o en el MO respuestas, así que supongo que puedo tirar mis cosas en...
Considere la posibilidad de la $(m,n)$ función racional
$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{p_0+p_1 x+\cdots+p_m x^m}{q_0+q_1 x+\cdots+q_n x^n}$$
Aunque hay $m+n+2$ coeficientes de $p_k,q_k$ indicado en $R(x)$, de hecho, solo el $m+n+1$ condiciones son necesarias para determinar de forma única, ya que fácilmente se puede cancelar los factores comunes del numerador y el denominador.
Aparentemente, habiendo $m+n+1$ señala que su $R(x)$ debe pasar a través de ($R(x_j)=y_j, j=1,\dots,m+n+1$), debería ser suficiente, y que solo se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales homogéneo $P(x_j)=y_j Q(x_j)$. Considere el ejemplo de la instalación de un $(1,1)$ función racional $\dfrac{a+bx}{c+dx}$ a los siguientes puntos:
$$\begin{array}{c|ccc}x_j&0&1&2 \\\hline\\y_j&1&2&2\end{array}$$
el que se obtiene un conjunto de ecuaciones
$$\begin{align*} a+0\cdot b&=1\cdot(c+0\cdot d)\\ a+1\cdot b&=2\cdot(c+1\cdot d)\\ a+2\cdot b&=2\cdot(c+2\cdot d) \end{align*}$$
La solución de este conjunto de ecuaciones y sustituyendo en la expresión de la $(1,1)$ función racional de los rendimientos de la función $R(x)=\dfrac{2x}{x}$ o $R(x)=2$ después de cancelar los factores comunes. Ahora se puede ver que esta función pasa a través del segundo y tercer puntos, pero ciertamente no es el primero. (En la jerga de los racionales de la interpolación, el punto de $(0,1)$ es llamado un inaccesible punto, y los otros dos puntos se dice que están en una posición especial.)
Según parece, las cosas se simplifican si se considera sólo a las funciones racionales con relativamente primer numeradores y denominadores (es decir, $P(x)$ $Q(x)$ no tienen en común factores polinomiales de grado positivo). El correspondiente teorema, entonces, es
Si los coeficientes de una función racional $R(x)$ satisfacer las $m+n+1$ ecuaciones lineales determinado por los puntos dados, a continuación, la interpolación problema no tiene inaccesible puntos, si y sólo si el equivalente de la función racional $R^\ast(x)$, con relativamente primer numerador y el denominador también la satisfacción de los $m+n+1$ ecuaciones.
Ver Bulirsch y Stoer para una discusión más detallada, y estos dos artículos para la fiabilidad de los algoritmos para la construcción racional interpolants y/o detectar qué subconjunto de un conjunto dado de puntos está en la posición especial.
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Puntos
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Dado $2d+1$ pares de $(x_i,y_i)$, por lo general, habrá un único grado $d$ función racional pasa a través de ellos. Más precisamente, esta función va a existir a MENOS que haya alguna entero $e>0$ y un subconjunto de a $2d+1−e$ de los puntos que se encuentran en una función racional de grado $d−e$. Si el argumento puede ser simplificado a precalc nivel es menos clara. – David Speyer 2 de Mayo a las 13:17
Ver también http://mathoverflow.net/questions/86723/properties-of-rational-functions.
