La monotonía de la convergencia a un punto fijo en un espacio de Banach

Question

Deje $\mathscr X$ ser un espacio métrico separable y $\mathbb B$ ser el espacio de Banach de todo valor real acotado medible funciones en $\mathscr X$. El orden parcial en este espacio es presentado por $$ f\leq g \text{ si }f(x)\leq g(x)\text{ para todo }x\in \mathscr X. $$ El operador $\mathscr A:\mathbb B\to\mathbb B$ se llama monotonía si $f\leq g$ implica $\mathscr Af\leq \mathscr Ag$, el operador no es necesario lineal. Consideremos la función $f_0\in \mathbb B$ tal que $\mathscr Af_0\geq f_0$ y la construcción de la secuencia $f_{n+1} = \mathscr A f_n$. Claramente, para cualquier fija $x\in \mathscr X$ el límite de $\lim\limits_{n}f_n(x)$ existe (aunque puede ser infinito) y de la convergencia es monótono.

Supongamos que para cualquier $x\in\mathscr X$ el límite es finito y se denota por a $f(x)$. Es cierto que $$ f = \mathscr Af\quad? $$

Answer 1

Deje que el espacio métrico tiene un punto, y a identificar las $\mathbb B$$\mathbb R$. Deje $\mathscr A(x)=\sqrt[3]{x}$ si $x<1$, $\mathscr A(x)=2$ si $x\geq 1$. Deje $f_0=\frac{1}{2}$. A continuación,$\mathscr Af_0\geq f_0$, e $\lim\limits_{n\to\infty}\mathscr A^nf_0=1=f$, pero $\mathscr Af=2$.

En general $\mathscr A f\geq f$ es cierto, pero este ejemplo muestra que la igualdad no necesita tener.