Encontrar el límite de: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{\displaystyle \sum\limits_{i = 0}^\infty \frac{x^{en}} {()!}}{\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^\infty \frac{x^{jm}}{(jm)!}} $$ para $n$, $m$ números naturales.
Es fácil ver que para las escuelas primarias de los casos, como $n=0$ nos acaba de obtener la expansión de Taylor para $e^x$. Obtenemos el límite igual a$1$$n=m$. Alguna idea de cómo encontrar una regla general? Tal vez podemos utilizar algún tipo de estrujar el argumento?
La respuesta es $m/n$. La razón es que
$$f(n,x) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^{j n}}{(j n)!} = \frac1{n} \sum_{k=0}^{n-1} \exp{\left ( e^{i 2 \pi k/n} x\right )} $$
La suma es dominado por el $k=0$ plazo como $x \to \infty$. La relación de tales términos es lo $m/n$.
ANEXO
La prueba de la anterior afirmación es sencillo. La expansión de Taylor de la RHS es
$$\frac1{n} \sum_{k=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{e^{i 2 \pi j k/n} x^j}{j!} $$
Orden inverso de la suma de (justificado, ya que cada persona suma converge absolutamente):
$$\frac1{n} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{e^{i 2 \pi j k/n} x^j}{j!} = \frac1{n} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{ x^j}{j!} \sum_{k=0}^{n-1} e^{i 2 \pi j k/n}$$
El interior de la suma de una serie geométrica, por lo que la expansión de Taylor es ahora
$$ \frac1{n} \sum_{j=0}^{\infty}\frac{ x^j}{j!} \frac{e^{i 2 \pi j} - 1}{e^{i 2 \pi j/n} - 1} $$
Debe quedar claro que el último factor es igual a cero, a menos que $j$ es igual a un múltiplo de $n$, donde es igual a $n$. QED.
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