Resolver la siguiente ecuación: $\sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}}} - \sqrt x= 1$

Question

Un pasado en el examen en papel y tenía la siguiente pregunta que me pareció interesante. Traté de tener un ir en él, pero no ha llegado a su alrededor con las soluciones. ¿Cómo se podría ir sobre la lucha contra ella?

$$\sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}}} - \sqrt x = 1$$

Estoy viendo una relación entre $4x$, $16x$ y $64x$ así que tal vez la más grande puede ser simplificado para los pequeños?

Yo le animo a trabajar en un examen de medio ambiente (por lo tanto no hacer uso de otra cosa que de la pluma y el papel y, posiblemente, una calculadora).

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EDIT: Mi pregunta había un faltante $-\sqrt x$ al final, lo siento!

Answer 1

$$\sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}}} = 1+ \sqrt x$$

El cuadrado $$ \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}} = 1+ 2\sqrt x$$

El cuadrado $$ \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}} = 1+ 4\sqrt x$$

El cuadrado $$ \sqrt {64x + 5} = 1+ 8\sqrt x$$

El cuadrado $$ 5 = 1+ 16\sqrt x$$

Answer 2

Este es un enfoque muy intuitivo basado en el hecho de que supongo que estar en la sala de examen con ningún equipo y aún sin calculadora.

Si hay una raíz simple de $\sqrt{64x+5}$ debe reducir a un número entero y $x=\frac1{16}$ es evidente (desde $9$ es el más cercano a la plaza de a $5$). A partir de aquí, podemos ir hacia atrás (comprobar que cada vez que nos metemos otra plaza) y comprobar que esta es la solución.

Answer 3

Usted puede deshacerse de las raíces cuadradas de los sucesivos squarings y cambia de lado.

$$\sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}}} = 1,$$ $$\sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}} = -x+1,$$ $$\sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}} = x^2-6x+1,$$ $$\sqrt {64x + 5} = x^4-12x^3+38x^2-28x+1,$$ $$0=x^8-24x^7+220x^6-968x^5+2118x^4-2152x^3+860x^2-120x-4.$$

Utilizando un polinomio de solver, hay seis raíces reales y un par complejo conjugado, sin aparente valor simple.

Esto hace que la corrección de la declaración del problema más bien dudosa.

Answer 4

\begin{align*} \sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}}} - \sqrt x & = 1\\ \sqrt {x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}}} & = 1+\sqrt{x}\\ x + \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}} & = 1+x+2\sqrt{x}\\ \sqrt {4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}}} & = 1+2\sqrt{x}\\ 4x + \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}} & = 1+4x+4\sqrt{x}\\ \sqrt {16x + \sqrt {64x + 5}} & = 1+4\sqrt{x}\\ 16x + \sqrt {64x + 5} & = 1+16x+8\sqrt{x}\\ \sqrt {64x + 5} & = 1+8\sqrt{x}\\ 64x + 5 & = 1+64x+16\sqrt{x}\\ 16\sqrt{x} & = 4\\ x & =\frac{1}{16}. \end{align*}

Answer 5

La mejor solución que se puede imaginar es elevar al cuadrado repetidas veces y, a continuación, utilizar métodos numéricos para encontrar las raíces del polinomio resultante y, a continuación, comprobar para extranneous respuestas de nuestro cuadrado.