Resolución de una ecuación con un logaritmo en el exponente

Question

Yo intente resolver la siguiente ecuación:

$$ (N+1)^{\log_N{125}} = 216 $$

Sé que la respuesta es 5 aquí, pero ¿cómo podría reescribir las ecuaciones para que yo lo puedo resolver?

Traté de tomar el logaritmo de ambos lados, pero eso no me ayuda porque me quedé atrapado. Podría alguien por favor me explique cómo hacerlo?

Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Use las reglas de logaritmo, especialmente el poder de la regla y el cambio de la base de la regla.

Tome $\log_6$ en ambos lados, y luego de simplificar la ecuación para obtener la $\log_6 5 = \log_{N+1} N$.

Observe que la gráfica de $\log_{N+1} N$ es monótona (por ejemplo, mediante la diferenciación), por lo tanto la única respuesta es $N=5$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\;216 = 6^3,\;$ $\;125 = 5^3,\;$ a fin de utilizar el logaritmo de la potencia de la regla: $\;\log (a^b) = b \log a\;$ escribir:

$$ (N+1)^{\large\log_N{ 5^3}} = (N+ 1)^{3\large\log_N5} = 6^3$$

Que es $$\left [ (N+1)^3 \right ]^{\large\log_N{5}} = (5 + 1)^3 $$ y su solución es evidente.

Answer 3

Puede reescribir la ecuación, de modo que la solución es evidente, tal como

$$\left [ (N+1)^3 \right ]^{\log_N{5}} = (5 + 1)^3 $$

Answer 4

En primer lugar, tratar de resolverlo por la inspección, con la esperanza de que $N$ es algo agradable. Reconozco $216$$6^3$, así que espero que $\log_N125=3$. También reconozco que $125=5^3$, lo $\log_5 125=3$. Y por la gran suerte de $6=5+1$, lo $N=5$ es de hecho una solución.

Answer 5

Su ecuación es igual a la búsqueda de un $N$ tal que $(N+1)^{\log_N{5}}=6$. Es evidente que si el número natural $N$ ser mayor que $5$$t=\log_N{5}<1$$(N+1)^{t}<6$. La misma historia es válida cuando se $N<5$, debido a que la función $x^t, t>1$ es cada vez mayor. Por lo que sería $N=5$.