Una pregunta sobre cerrado convexo plano de curvas de Do Carmo)

Question

Vamos $\alpha (s)$ , $s\in [0,l]$, ser un cerrado convexo plano de la curva de orientación positiva. La curva de $\beta(s)=\alpha (s) -rn(s)$ donde $r$ es una constante positiva y $n(s)$ es el vector normal, es un paralelo de la curva de a $\alpha$. Demostrar que:

1. $$ \text{Length}(\beta)=\text{Length}(\alpha) +2\pi r$$

2. $$ A(\beta)=A(\alpha)+rl+\pi r^2$$

3. $$k_{\beta}(s)=\frac{k_{\alpha}(s)}{1+r}$$

donde el $k$'s son la curvatura de las curvas correspondientes.

Para 1, he utilizado la ecuación $$L(\beta)=\int_{0}^{l} \|\beta'(s)\| ds = \int_{0}^{l} (\|(1+rk_{\alpha})\alpha'(s) \| +\tau r |b(s)|) ds =L(\alpha) (1+rk)+r\tau$$

No veo cómo a partir de esto quiero llegar a la ecuación 1.

Para 2, en este caso es el área encerrada por la curva, no estoy seguro qué fórmulas a utilizar aquí. Cualquier sugerencias?

Para el 3, yo calcula de acuerdo a la definición de la curvatura, donde $$k_{\beta}(s)=\frac{\|\gamma '(s)\|}{\|\beta '(s) \|}$$ where $\gamma (s)=\frac{\beta '(s)}{\|\beta '(s)\|}$. One of my assumptions is that we're in arclength representation, so $k_{\alpha}(s)=\|\alpha "(s) \|$. Pero yo no se llega a la misma ecuación, por el contrario, se ve como un desordenado cálculo que lleva a ninguna parte. Yo tengo ese $$\gamma '(s)= \frac{r^2[r\tau ^2 k'_{\alpha}-(1+rk_{\alpha})\tau \tau ']\alpha '(s)+[(1+rk)k+r\tau ^2][(1+rk)^2+(r\tau)^2] n(s) +r\tau '(1+rk)^2 b(s)}{[(1+rk)^2+(r\tau)^2]^{\frac{3}{2}}}$$ No veo la manera de que nada vaya simplificado aquí.

Gracias de antemano.

Answer 1

(1) Ya que este es un plano de la curva, la torsión $\tau$ es cero. Sin pérdida de generalidad podemos suponer $s$ es el arclength parámetro de modo que $\|\alpha'(s)\|=\|T\|=1$, $T$ el vector tangente. Calcular

$$\beta'=\alpha'-r(-\kappa T)=(1+r\kappa)T.$$

Anteriormente hemos utilizado el Frenet-Serret fórmulas para diferenciar el vector normal. Por lo tanto

$$L(\beta)=\int \|\beta'\|ds=\int(1+r\kappa) ds=L(\alpha)+2\pi r.$$

Anteriormente hemos utilizado el total de la curvatura de la identidad de $\int \kappa ds = 2\pi$.

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(2) para calcular el área de $\beta$ vamos a invocar Verde del teorema de la $\mathbb{R}^3$ con productos cruzados. Aquí $B=T\times N$ es el vector binormal - tenga en cuenta que el producto cruzado es antisimétrica.

$$A(\beta)=\frac{1}{2}\int(\beta\times\beta')\cdot B ds$$

$$=\frac{1}{2}\int(\alpha-rN)\times(1+r\kappa_{\alpha})T\cdot B ds$$

$$ = \left(\frac{1}{2}\int \alpha\times T\cdot Bds\right)+ r\int B\cdot Bds+\frac{1}{2}\left(\int r^2\kappa_{\alpha}ds\right)$$

$$=A(\alpha)+rL(\alpha)+\pi r^2. $$

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(3) Ahora vamos a calcular $\kappa_{\beta}$ con un local de la fórmula:

$$\kappa_{\beta}=\frac{\|\beta'\times\beta''\|}{\|\beta'\|^3}=(1+r\kappa_{\alpha})^{-3}\left\|(1+r\kappa_{\alpha})T\times\left(r\frac{d\kappa_{\alpha}}{ds}T+(1+r\kappa_{\alpha})\frac{dT}{ds}\right)\right\|.$$

Tenga en cuenta que$T\times T=0$$\|T \times T_s\| = \kappa_{\alpha}$, por lo que de esta forma se simplifica drásticamente a

$$\kappa_{\beta}=\frac{\kappa_{\alpha}}{1+r\kappa_{\alpha}}.$$

(Asumo que lo que usted ha escrito en la pregunta es que falta un $\kappa_{\alpha}$ en el denominador.)